3. Arbeide matematisk
Lærerveiledning
Dette er en klassisk oppgave som også passer for fysikk 1 (bare at man da ikke trenger å oppgi modellen da elevene er vant til flere bevegelseslikninger de kan bruke). I denne oppgaven må elevene også bruke formelen \(s=vt\). Elevene må bruke matematiske modeller og dele problemet opp i flere deler da modellen ikke vil gi svaret automatisk. Oppgaven passer derfor til underkompetansen å arbeide matematisk med modeller. Vanskelighetsgraden til oppgaven anses som høy for 1P-elever da elevene må skrive om og kombinere to matematiske uttrykk. Ønsker man en lettere oppgave, kan man fjerne kravet om å ta hensyn til lydfarten. Oppgaven går da kun ut på å finne \(t\) i uttrykket under.
\[ h = \frac{1}{2}g t^2 \]I resten av dette løsningsforslaget tar vi hensyn til lydfarten. Tiden det tar fra vi slipper steinen til vi hører lyden av steinen som treffer bakken, \(t\), består av to deler: 1) tiden det tok for steinen å treffe bunnen av brønnen, \(t_f\), og 2) tiden lyden bruker på å reise fra bunnen av brønnen og opp til overflaten, \(t_l\).
\[ t = t_f + t_l \]Vi kan finne uttrykket for \(t_f\) ved å bruke \(h = \frac{1}{2}g t_f^2\) og \(t_l\) ved å bruke \(h=v_s t\), hvor \(v_s\) er lydfarten. Dette gir oss:
\[ t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} + \dfrac{h}{v_s} \]Dette er en likning med én ukjent, høyden \(h\). La oss skrive om likningen og fylle inn kjente verdier:
\[ \begin{align*} \sqrt{\dfrac{2h}{g}} + \dfrac{h}{v_s} - t &= 0 \\ \sqrt{\dfrac{2h}{9.81}} + \dfrac{h}{343} - 4.5 &= 0 \end{align*} \]Vi har her midlertidig fjernet målenheter i likningen for å gjøre den mer oversiktlig. Denne likningen kan vi enten løse for hånd eller i Geogebra. I figuren under har vi tegnet grafen til denne funksjonen og markert nullpunktet. Dette gav oss en verdi på \(h \approx 88 \text{ m}\).
