3. Arbeide matematisk

Oppgaver som har underkompetansen "Arbeide matematisk med modellen" som hovedfokus, dvs.:

Å kunne bruke de matematiske modellene til å løse matematiske problemer. Dette inkludere å bruke matematisk kunnskap og strategier som å dele opp problemet i mindre delproblem, se likheter til liknende problemer, variere menger og variabler eller tilgjengelig data, omformulere problemet osv. Det kan også bety å gjøre endringer på den matematiske modellen.

Liste over oppgaver:

1. Klippe gressplen
2. Karbondatering
3. Relativistisk kinetisk energi
4. Dyp brønn
5. Bil, fart og energi
6. Endre vekstmodell

Oppgave  |  Klippe gressplen

Ola skal klippe familiens rektangulære gressplen på lengde \(l\) og bredde \(b\) med en gressklipper hvor radiusen på klippekniven er gitt ved \(r\) og hvor \(v\) er farten Ola går med gressklipperen. Vi antar at han alltid går med jevn fart og tiden han bruker på å endre retning på gressklipperen hver gang han når ended av plenen er neglisjerbar. Vi kan da sette opp en matematisk modell for hvor lang tid det tar å klippe gressplenen:

Ola skal rekke en fotballkamp om 15 minutter. Anta at plenen er 20 meter lang og 15 meter bred, og at klippekniven har en radius på 50 cm. Hvor fort må Ola gå for å bli ferdig før kampen starter?

Oppgave  |  Karbondatering

Alt som lever har omtrent samme mengde \(^{14}C\) i seg og denne mengden holdes konstant så lenge det er i live. Når f.eks. et tre dør, slutter det å ta til seg \(^{14}C\) og vi står igjen med en fast mengde som gradvis blir omgjort til andre stoffer pga. radioaktivitet. Siden vi vet hvor lang tid det tar for en mengde \(^{14}C\) å halveres, kan vi måle hvor mye \(^{14}C\) som er igjen i f.eks. i treverket i en gammel vikingbåt og finne ut hvor gammel vikingbåten er.

Siden \(^{14}C\) har en halveringstid på 5730 år, kan hvor mye \(^{14}C\) som er igjen etter \(t\) år beskrives ved uttrykket:

hvor \(N_0\) er hvor mye \(^{14}C\) vi har ved tiden \(t=0\). Anta at man fant en gammel vikingbåt og målte at den hadde 88.6 % av den opprinnelige mengden \(^{14}C\). Hvordan går vi frem for å finne ut hvor gammel båten er?

1. Vi må først vite verdien av \(N_0\) for å kunne regne videre.
2. Regner ut \(N(0.886)\) hvor man setter \(N_0 = 1\).
3. Skriver inn uttrykket for \(N(t)\) i Geogebra, hvor man setter \(N_0 = 1\). Man åpner så CAS og løser \(N(t) = 0.886\).
4. Skriver inn uttrykket for \(N(t)\) i Geogebra, hvor man setter \(N_0 = 1\). Man skriver inn linjen \(y = 0.886\) og finner skjæringspunktet mellom \(y\) og \(N(t)\).
5. Skriver inn uttrykket for \(N(t)\) i Geogebra, hvor man setter \(N_0 = 1\). Man skriver inn linjen \(t = 0.886\) og finner skjæringspunktet mellom \(t\) og \(N(t)\).

Oppgave  |  Relativistisk kinetisk energi

Hvor mye energi man må bruke for å akselerere en gjenstand med masse \(m\) fra å stå i ro til en bestemt fart, \(v\), er gitt ved det relativistiske uttrykket:

hvor \(c \approx 3.00 \cdot 10^8 \text{ m/s}\) er lysfarten.

1. Hvor mye energi trengs det for å aksellerere en gjenstand på 1kg til en fart som er 90% av lysfarten? Hva med 99% av lysfarten?
2. Man lærer i fysikken at man aldri kan bevege seg fortere enn lysfarten, \(c\). Gi en forklaring basert på dette uttrykket hvorfor man ikke kan øke farten slik at den blir høyere enn lysfarten.

Oppgave  |  Dyp brønn

For gjenstander som er i fritt fall vil sammenhengen mellom høyden gjenstanden faller, \(h\), og tiden det tar for gjenstanden å falle denne høyden, \(t\), være gitt ved modellen:

hvor \(g=9.81 \text{ m/s}^2\) kalles tyngdeakselerasjonen. Anta at vi står på kanten av en dyp og mørk brønn, og slipper en stein. Etter 4.5 sekunder hører vi steinen treffe bakken. Hvis vi tar hensyn til at lyd i luft beveger seg med en konstant fart på \(343 \text{ m/s}\), hvor dyp er brønnen?

Oppgave  |  Bil, fart og energi

Energien en gjenstand har pga. dens bevegelse kaller vi kinetisk energi. Hvis en bil med masse \(m\) kjører med en fart \(v\) vil den kinetiske energien, \(E\), være gitt ved uttrykket:

1. Hvis bilen dobler farten sin, hva skjer med energien?

   1. Den blir halvparten så stor
   2. Den vil være like stor som før
   3. Den blir dobbelt så stor
   4. Den blir fire ganger så stor
   5. Det kan vi ikke vite uten å vite massen

2. Hvordan kan vi endre farten for å halvere den kinetiske energien til bilen?

   1. Vi må gange den opprinnelige farten med roten av 2
   2. Vi må dele den opprinnelige farten med roten av 2
   3. Vi må gange den opprinnelige farten med 2
   4. Vi må dele den opprinnelige farten med 2
   5. Vi må gange den opprinnelige farten med 4
   6. Vi må dele den opprinnelige farten med 4
   Forrige Neste