Modellering i matematikk

Innledning
Modellering i LK20
Teoretisk perspektiv på modelleringskompetanse
Typiske feil og misoppfatninger
Kobling til kompetansemål i 1P
Vurdering av modelleringskompetanse
Klassifisering av modelleringsoppgaver
Peer Instruction-metoden
Eksterne ressurser
Referanser

Innledning

I dette kompendiet finner du ressurser for å jobbe med modellering i matematikk. Nivået i kompendiet er rettet inn mot 1P, men innholdet vil likevel være relevant for andre trinn. Kompendiet er delt inn i en teoridel, som du finner her, og oppgaver og andre ressurser for å jobbe med og vurdere elevenes kompetanse i modellering.

Det er en fordel å sette seg inn i teorien som står på denne siden, da den vil både gi en oversikt over hvordan modellering er beskrevet i LK20, hva forskning sier om hva som menes med matematisk modelleringskompetanse, inkludert et sett med underkompetanser som elevene må ha for å kunne jobbe med matematisk modellering, typiske feil og misoppfatninger hos elevene relatert til modellering, ulike aspekter av hvordan vurdere modelleringskompetanse samt en klassifisering av ulike modelleringsoppgaver. Mot slutten av denne siden blir det gitt en introduksjon til Peer Instruction-metoden, som er en effektiv metode for å fremme faglige samtaler i klasserommet, og som er godt egnet til mange av oppgavene i dette kompendiet.

Oppgavene som legges frem på ressurssidene har som hensikt å enten kunne brukes direkte i undervisning, eller fungere som inspirasjon til å utvikle egne oppgaver. For hver oppgave kan trykke for å få en lærerveiledning, eller laste ned oppgaven som en word-fil. Noen av oppgavene vil være i form av flervalgsoppgaver/quizzer. Disse kan enten brukes som en del av oppgaver elevene gjør alene, f.eks. på en prøve, eller som diskusjonsoppgaver. Mange av quizzene som presenteres i dette kompendiet passer bra å kombinere med andre type oppgaver. Hvis en quiz fokuserer på at elevene skal diskutere ulike fremgangsmåter for å løse et matematisk problem, kan en passende oppfølgingsoppgave være å la elevene faktisk utføre denne fremgangsmåten.

NB: Oppgavene som finnes i dette kompendiet må sees på som eksempler på modelleringsoppgaver og ikke et komplett sett av oppgaver som dekker alle aspekter av modelleringskompetanse. Selv om det blir gitt eksempler på oppgaver innenfor alle underkompetanser relatert til modellering, trenger man et variert sett av oppgaver innenfor hver kompetanse med ulike kontekster for å kunne vurdere elevenes kompetanse i modellering. Et av målene

Modellering i LK20

Matematisk modellering er et av kjernelementene i LK20 i tillegg til å bli nevnt i flere kompetansemål. For 1P har vi tre kompetansemål som spesifikt nevner modellering:

Elevene skal kunne

modellere situasjoner knyttet til temaer fra samfunnsliv og arbeidsliv, presentere og argumentere for resultatene og for når modellene er gyldige

tolke og bruke funksjoner i matematisk modellering og problemløsing

planlegge, utføre og presentere selvstendig arbeid knyttet til modellering og funksjoner innenfor samfunnsfaglige temaer

Selv om det kun er to kompetansemål som nevner modellering, er det en god del flere kompetansemål som er relevant for modellering i matematikk. Vi skal se nærmere på dette senere på denne siden.

Det er flere argumenter for at elever skal lære matematisk modellering. Maaß (2010) argumenterer for at noen av målene med å implementere modellering er å gi elevene evne til å bruke matematikk i deres hverdag og senere i deres arbeidsliv, gi de en bedre forståelse av deres verden og kritisk vurdere maematisk informasjon, utvikle kompetanse innenfor problemløsing hvor de har evne til å løse ukjente problemer og kommunisere disse med hjelp av matematikk, bedre forstå hvorfor matematikk er nyttig, hjelpe elevene med å huske matematisk innhold og hjelpe elever med å få en mer positiv holdning mot matematikk.

Hva som menes faktisk med modellering, blir beskrevet i kjernelementet "Modellering og anvendelse":

En modell i matematikk P er en beskrivelse av virkeligheten i matematisk språk. Elevene skal ha innsikt i hvordan modeller i matematikk brukes for å beskrive dagliglivet, arbeidslivet og samfunnet ellers. Modellering i matematikk P handler om å lage slike modeller. Det handler også om å kritisk vurdere om modellene er gyldige, og hvilke begrensninger de har, vurdere modellene i lys av de opprinnelige situasjonene og vurdere om de kan brukes i andre situasjoner.

Fra denne beskrivelsen er det lett å tenke at modellering er alt som har med å gjøre beregninger og bruke formler som gjelder den virkelige verden. Dvs. at dersom man jobber med matematikk fra dagliglivet, så jobber man med modellering. Ta f.eks. denne modifiserte versjonen av oppgave 6 på eksamen i 1P høst 2024:

En bedrift har en fast månedslønn på 32 000 kroner og 20 000 kroner i tillegg ved reiseoppdrag. Sett opp en funksjon som viser årslønnen som funksjon av antall reiseoppdrag.

Vi kan løse denne oppgaven ved å bruke at det er 12 måneder i et år. Dersom vi lar \(x\) være antall reiser på et år, får vi:

\[ \begin{align*} f(x) &= 32 000 \cdot 12 + 20 000 x \\ &= 384000 + 20000 x \end{align*} \]

I den virkelige oppgaven blir elevene presentert med tre forskjellige bedrifter, som har litt forskjellige fast månedslønn og tillegg ved reiser, som elevene skal sette opp et slikt uttrykk over og så regne ut hvor mange reiseoppdrag de må ha for at lønnen skal være best hos de ulike bedriftene. Selv om man kan argumentere for at denne situasjonen er kunstig, og derfor ikke er en beskrivelse av "virkeligheten" (som er hva kjerneelementet beskriver) kan man likevel argumentere for at det passer inn i første del av kjernelementene. Elevene jobber med matematikk fra dagligliv/arbeidsliv og man kan argumentere for at elevene ved å sette opp funksjonsuttrykket setter opp en modell og derfor driver med modellering.

Det er derimot viktig å ikke glemme den siste setningen i beskrivelsen fra kjernelementet: Det handler også om å kritisk vurdere om modellene er gyldige, og hvilke begrensninger de har, vurdere modellene i lys av de opprinnelige situasjonene og vurdere om de kan brukes i andre situasjoner. Dette er vurderinger som ikke gir mening i denne oppgaven, som viser at modellering handler om mer enn å gjøre noen beregninger eller sette opp en formel fra dagliglivet.

For å kunne vurdere elevenes kompetanse i matematisk kompetanse, er det viktig at vi har en god forståelse for hva matematisk kompetanse innebærer. Vi skal derfor se på et mer teoretisk perspektiv på matematisk modellering.

Til toppen

Teoretisk perspektiv på modelleringskompetanse

Modelleringsprosessen

Maaß (2006) definerer modelleringskompetanse som ferdigheter og evner for å utføre modelleringsprosesser hensiktsmessig og målrettet, samt vilje til å sette disse ut i livet. En modelleringsprosess inkluderer å ta en virkelig situasjon, identifisere relevante menger og variabler og gjøre nødvendige forenklinger og antagelser for å lage en idealisert situasjon eller modell som man deretter oversetter til et matematisk språk. Denne matematiske modellen kan deretter brukes til å løse problemer knyttet til den opprinnelige situasjonen. Modelleringsprosessen innebærer også å tolke og vurdere resultater fra modellen opp mot den opprinnelige situasjonen, og evt. gjøre endringer på modellen dersom nødvendig. Figuren under er hentet fra Blum & Ferri (2009) og viser en illustrasjon av denne modelleringsprosessen.

Underkompetanser

Modelleringssyklusen viser at det er flere steg i som inngår i matematisk modellering. Hver av disse stegne vil kreve ulik form for kompetanse. Å identifisere relevante variabler og gjøre nødvendige forenklinger, krever litt forskjellige ferdigheter enn å faktisk matematisere disse variablene og relasjonene mellom dem. Vi kan derfor dele opp matematisk modelleringskompetanse opp i ulike underkompetanser som til sammen danner en mer helhetlig modelleringskompetanse. Det er flere måter å dele opp disse underkompetansene, men i dette kompendiet skal vi bruke oppdelingen slik den blir beskrevet i Hankeln et al. (2019) og Maaß 2006. Der deler de matematisk modelleringskompetanse opp i fem underkompetanser: Forenkle, Matematisere, Jobbe matematisk, Tolke og Vurdere.

Forenkle: Å kunne gjøre antagelser og forenkle situasjonen, identifisere relevante mengder som påvirker situasjonen og nøkkelvariabler og sette opp sammenhenger mellom disse variablene, finne nødvendig informasjon og kunne skille mellom relevant og urelevant informasjon. I dette steget vil elevene utvikle en idealisert modell av situasjonen, som i neste steg vil oversettes til en matematisk modell.
Matematisere: Å kunne matematisere relevante mengder, dvs. oversette dem og deres sammenhenger til et matematisk språk, velge passende matematisk notasjon og representasjoner. Kort sagt å sette opp en matematisk modell fra den idealiserte modellen av situasjonen.
Arbeide matematisk med modellen: Å kunne bruke de matematiske modellene til å løse matematiske problemer. Dette inkludere å bruke matematisk kunnskap og strategier som å dele opp problemet i mindre delproblem, se likheter til liknende problemer, variere menger og variabler eller tilgjengelig data, omformulere problemet osv. Det kan også bety å gjøre endringer på den matematiske modellen.
Tolke: Å kunne tolke matematiske resultater fra modellen i lys av den opprinnelige situasjonen og andre ekstra-matematiske kontekster, kunne generalisere løsninger som ble utviklet for spesielle situasjoner og kunne kommunisere om løsningen til problemet med og uten matematisk språk.
Validere: Å kunne kritisk sjekke og reflektere over løsningene på problemet som ble funnet, antagelsene som ble gjort eller modellen som ble utviklet og/eller brukt. Kunne vurdere ulike deler av modellen, vurdere gyldighetsområdet for modellen og gå tilbake til tidligere steg i modelleringsprosessen hvis løsningen ikke passer til situasjonen. Kunne reflektere over andre måter å løse problemet eller om det er andre måter å komme frem til løsninger.

Går vi tilbake til oppgave 6 på eksamen i 1P høst 2024, ser vi at den faktisk er relevant for modelleringskompetanse, selv om den ikke tar for seg hele modelleringsprosessen. Elevene skal ikke forenkle og heller ikke validere modellen. De skal derimot sette opp matematiske uttrykk, som er en del av matematiseringskompetansen, og de må løse problemer med å bruke modellen, som er en del av underkompetansen om å arbeide matematisk med modellen.

Metakognitiv kompetanse

Flere argumenterer for at matematiske ferdigheter ikke er nok for å ha matematisk modelleringskompetanse (se f.eks. Geiger et al. 2021; Maaß 2010; Vorhölter et al. 2019). Dette kommer av at modelleringsoppgaver ofte har en høy grad av kompleksitet, spesielt hvis matematikken som skal brukes ikke blir spesifisert for elevene og hvis elevene må selv gjøre egne tolkninger og vurderinger for å forstå situasjonen de blir presentert (Vorhölter et al. 2019). Dette gjør at det krever også ferdigheter innenfor metakognisjon for å utvikle matematisk modelleringskompetanse og løse problemer innenfor modellering (Vorhölter et al. 2019).

Metakognisjon kan kort defineres som kunnskap om egne kognitive prosesser, og produkter relatert til disse, og evne til selv-regulering (Vorhölter et al. 2019). I forbindelse med matematisk modellering innebærer det, blant annet, at elevene har forståelse hva matematisk modellering er, de ulike stegene som inngår i modelleringsprosessen og kunnskap om å jobbe med disse, evne til å planlegge et modelleringsarbeid, observere og vurdere strategier eleven bruker i arbeidet, osv. Elevene må, blant annet, ha kunnskap om

hva som kjennetegner et modelleringsproblem
hva en matematisk modell er
de ulike stegene i modelleringsprosessen
sine egne evner og evner til de man jobber med
ulike strategier for å løse modelleringsproblemer
ulike strategier for å observere og vurdere egne strategier og arbeidsmetoder

I tillegg til kunnskap om ulike områder, er det også en viktig del av metakognisjon å ha nødvendig motivasjon og viljestyrke til å utføre de ulike delene av modelleringsprosessen.

For å fremme de nødvendige metakognitive ferdighetene hos elevene relatert til matematisk modellering, er det viktig å forklare kjennetegn med matematisk modellering og de ulike stegene i modelleringsprosessen til elevene. Det kan også være nyttig å legge dette opp som diskusjon i klassen, hvor man viser eksempler fra ulike steg i modelleringsprosessen, slik som å gjøre nødvendige antageler og forenklinger, eller hvor man sammenlikner og diskuterer ulike løsninger og strategier på modelleringsoppgaver (Maaß 2006). Det er også nyttig å legge planlegging, observasjon og vurdering av egne strategier som en del av undervisningsoppleggene (Maaß 2006). Dette kan f.eks. innebære at elevene leverer selv-refleksjonsskjema knyttet til planlegging, utføring og vurdering av arbeid og strategier. For mer informasjon selv-regulering, og strategier for å jobbe med dette, se Zimmerman (2010).

Til toppen

Typiske feil og misoppfatninger

For å kunne veilede elevene på en god måte i arbeid med matematisk modellering, er det nyttig å ha en oversikt over typiske feil og misoppfatninger som ofte kan oppstå. I en studie gjort på elever på syvende trinn i Tyskland kom det frem at elevene ofte gjorde antagelser som enten forenkler for mye av situasjonen eller som forvrenger virkeligheten slik at elevene endte opp med feil modell (Maaß 2006). Når elevene skulle sette opp modellene, var det ofte tilfeller hvor elevene ikke brukte tilstrekkelig med matematiske symboler, brukte feil algoritmer eller feil formler. Regnefeil ved bruk av modellen var også en gjenganger.

Videre var det ofte tilfeller hvor elevene ikke tolket resultatene opp mot den opprinnelige situasjonen, eller de ble tolket feil. Validering av resultatene var noe som ofte manglet i elevenes svar. Det var også tilfeller der elevene kunne påpeke mangler i modellen, men der disse manglene ikke ble rettet opp. Validering av resultatene var ofte på et overflatenivå. Det var også flere feil relatert til hele modelleringsprosessen. Et eksempel er hvor elevene muligens beskriver relevante aspekter av situasjonen, men uten å bruke disse i modellen. Noen elever mistet også oversikten over sin egen progressjon i modelleringsprosessen, f.eks. ved hvor de har gjort utregninger og tolkning av disse, for så å rette på utregningene uten å endre på tolkningene av resultatene. En annen typisk feil var at elevene stoppet midveis i modelleringsprosessen pga. forvirringer med utregninger eller at de valgte en løsningsmetode som ikke ville føre frem.

Noen elever brukte erfaringer fra eget liv og koblet dette til situasjonen som ble beskrevet, men uten å koble det til matematisk modellering eller utregninger som ble gjort. Dette er et interessant resultat, for Maaß (2010) argumenterer også for at det motsatte kan skje, dvs. at elevene tenker at erfaringer fra hverdagen ikke er relevante når de løser oppgaver innenfor modellering da konteksten i oppgaven uansett er kunstig. Maaß (2010) argumenterer for at dette kan være en konsekvens av å kun bruke tradisjonelle tekstoppgaver når det jobbes med modellering når disse tekstoppgavene tar for seg veldig simple eller kunstige situasjoner.

Hun argumenterer også for at overdreven bruk av slike oppgaver kan også føre til at elevene tror at alle matematiske oppgaver kan løses og at det alltid er et entydig, korrekt og nøyaktig svar på alle oppgaver. Slike oppgaver kan også gi inntrykk av at å løse oppgaver alltid handler om å samle alle tallene som blir gitt i oppgaven hvor løsningen kommer fra å kombinere disse tallene i en eller flere matematiske operasjoner (Maaß 2010).

Studien til Maaß (2006) viste også til misoppfatninger knyttet til modellering, slik som at å forenkle er det samme som å gjette og at det alltid er mulig å forenkle på en måte slik at utregningene blir så enkle som mulig. Videre var det elever som kun så på tall som gyldige matematiske løsninger (dvs. ikke grader eller funksjoner) og at et tall alltid representerer et nøyaktig og entydig resultat, uavhengig av hvordan det ble utregnet. Det var elever som slet med å skille forskjellen mellom tolkning og validering, og noen elever tenkte at måten man validerer resultatene er alltid det samme i alle modelleringoppgaver. I oppgaver hvor elever må gjøre egne antagelser og det ikke er et fasitsvar, hadde noen en oppfatning av at det er umulig å gjøre feil og at alle løsninger er gode.

Baserte på funn i studien, argumenterer Maaß (2006) at elevene burde holde en oversikt over hvor de er i modelleringsprosessen og at man som lærer jobber for at elevene har en målrettet fremgang. Som Maaß (2006) selv sier det "A sense of direction must exist". Videre viste studien at holdning til både modellering og matematikk generelt kunne påvirke hvordan elevene angrep modelleringsproblemer. Negative holdninger til modelleringsoppgaver var et spesielt stort hinder for å utvikle modelleringskompetanse. Elever med slike holdninger slet ofte med å utvikle en idealisert modell av situasjonen og å validere resultatene.

Til toppen

Kobling til kompetansemål i 1P

Vi har tidligere sett at det er tre kompetansemål som direkte nevner matematisk modellering.

modellere situasjoner knyttet til temaer fra samfunnsliv og arbeidsliv, presentere og argumentere for resultatene og for når modellene er gyldige

tolke og bruke funksjoner i matematisk modellering og problemløsing

planlegge, utføre og presentere selvstendig arbeid knyttet til modellering og funksjoner innenfor samfunnsfaglige temaer

Basert på beskrivelsene av de forskjellige delkomptansene for matematisk modelelling, kan vi se at det er flere kompetansemål som er relevant for modellering. F.eks. passer følgende kompetansemål bra inn som en del av delkompetansen "Forenkling":

identifisere variable størrelser i ulike situasjoner og bruke dem til utforsking og generalisering

Forenkling handler også om å starte med en praktisk informasjon, f.eks. i form av en tekst som beskriver situasjonen, hvor elevene må vurdere hva som er relevant og ikke-relevant informasjon for å løse problemet. Denne informasjonen må de bruke for å sette opp modeller releavnt for å løse ulike problemstillinger og vurdere resultatene som kommer fra bruk av modellene. Dette er svært relevant for følgende kompetansemål fra læreplanen:

lese, hente ut og vurdere matematikk i tekster om situasjoner fra lokalmiljøet, gjøre beregninger knyttet til dette og presentere og argumentere for resultatene

Under "Arbeide matematisk" og "Tolkning" må elevene jobbe matematisk med matematiske modeller fra praktiske situasjoner, gjerne hvor disse er i form av likninger, noe som passer godt til følgende kompetansemål fra læreplanen:

tolke og bruke formler som gjelder samfunnsliv og arbeidsliv

Videre har vi kompetansemål som beskriver bruk av prosent, prosentpoeng og vekstfaktor, proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser, regne med rotuttrykk osv. Disse kan f.eks. inngå som en del av matematikken elevene bruker i matematiseringen av modeller eller matematisk arbeid med matematiske modeller.

Til toppen

Vurdering av modelleringskompetanse

Atomistisk eller holistisk vurdering?

Det er to hovedmåter å vurdere modelleringskompetanse, atomistisk og holistisk (Hankeln et al. 2019). En holistisk vurdering vil si å prøve å vurdere elevenes helhetlige modelleringskompetanse, dvs. at elevene får oppgaver hvor de må utføre hele modelleringsprosessen. Dette kan både gjøres ved å gi elevene typiske tekstoppgaver eller, som også er veldig vanlig, å legge det opp som prosjektoppgaver. En atomistisk vurdering, derimot, innebærer at man tester hver av delkompetansene hver for seg, dvs. at elevene får oppgaver som går spesifikt på forenkling, matematisering, bruk av modellen, tolkning eller vurdering.

Hver av fremgangsmåtene har sine styrker og svakheter. En styrke med en holistisk fremgangsmåte er at man får faktisk vurdert hvorvidt elevene er i stand til å utføre en modelleringssyklus. Selv om elevene er i stand til å utføre hvert av stegene i modelleringsprosessen hver for seg, er det ikke sikkert de vil være i stand til å gjennomføre overgangene mellom de ulike stegene på en god måte. En styrke med atomistisk vurdering er at man faktisk får mulighet til å undersøke hver enkelt delkompetanse. En elev kan være god i f.eks. å tolke, validere og å jobbe matematisk med modellen, men hvis eleven ikke er i stand til å gjøre de nødvendige forenklingene og sette opp en matematisk modell, vil ikke få mulighet til å teste denne delen av elevenes modelleringskompetanse. Det er derfor en fordel å jobbe både atomistisk og holistisk, både for å utvikle modelleringskompetanse hos elevene, og for å teste denne.

Dimensjoner for måloppnåelse

Hvis man ser på kjerneelementene i LK20, likner de mye på hvordan kompetanse blir beskrevet i det danske KOM-prosjektet. I dette prosjektet definerer de kompetanse som someone’s insightful readiness to act in response to the challenges of a given situation Jensen 2007. For å vurdere en elevs måloppnåelse av en bestemt kompetanse, opererer de med tre dimensjoner, dekningsgrad, aksjonsradius og teknisk nivå.

Dekningsgrad: Beskriver hvilke aspekter av kompetansen en elev kan aktivere og graden av autonomi eleven har i disse aktivieringene. For modellering vil dette si hvilke deller av modelleringsprosessen eleven er i stand til å utføre og graden av refleksjon eleven har i arbeidet. En elev som kan utføre flere av stegene har høyere dekningsgrad enn en som bare kan utføre noen enkelte (f.eks. en elev som kun klarer å jobbe med modellering når modellene allerede er ferdigstilte). En elev som kan gå gjennom de ulike stegene, men bare når den blir oppfordret til det, har høyere dekningsgrad enn en eleve som ikke kan utføre disse stegene, men mindre enn en elev som på egenhånd klarer å gå inn og utføre i de ulike stegene i prosessen.
Aksjonsradius: Beskriver bredden av situasjoner/områder hvor eleven kan utføre matematisk modellering. En elev som klarer å jobbe med modelleringsoppgaver som fokuserer på geometri, men ikke klarer å jobbe med modellering som inkluderer bruk av statistikk, har lavere aksjonsradius enn elever som klarer å jobbe med begge. En elev med høy aksjonsradius klarer også å jobbe med modellering i mange forskjellige situasjoner, slik som personlig økonomi, ulike vekstfenomener, praktiske situasjoner relatert til ulike tema fra samfunnsliv osv.
Teknisk nivå: Beskriver nivået på de matematiske konseptene, teoriene og metodene som eleven er i stand til å bruke i modellering. En elev som kun klarer å bruke lineære funksjoner, vil ha et lavere teknisk nivå enn elever som også klarer å bruke og jobbe med eksponentialfunksjoner og trigonometriske funksjoner. En elev som kun klarer å bruke grunnleggende, beskrivende statistikk, har et lavere teknisk nivå enn en elev som også klarer å bruke mer sofisikerte statistiske metoder, f.eks.

Disse tre dimensjonene vil sammen gi et bilde av elevens helhetlige kompetanse i modellering. I KOM-prosjektet brukes det en volum-analogi hvor man tenker seg at den totale kompetansen er produktet av de tre dimensjonene:

\[ \text{Kompetanse} = \text{Dekningsgrad} \cdot \text{Aksjonsradius} \cdot \text{Teknisk nivå} \]

Konsekvensene av dette er at elevenes modelleringskompetanse er null dersom minst en av de forskjellige dimensjonene er fraværende. En elev kan være svært god til å forstå og jobbe med de ulike stegene i modelleringsprosessen, men hvis elevens matematiske nivå er såpass lavt at eleven kun klarer dette dersom det matematiske nivået er på småtrinnsnivå, vil elevens totale matematiske komptanse (gitt at dette er en elev som går på et langt høyere trinn, f.eks. VGS) være svært lav.

Måloppnåelsebeskrivelser

For å vurdere elever i modellering er det viktig å utvikle gode måloppnåelsebeskrivelser som tar for seg de ulike delkompetansene og, fordelaktig, de ulike dimensjonene for måloppnåelse beskrevet over. Det er flere studier som prøver å sette opp slike måloppnåelsebeskrivelser. Et eksempel er fra Dunne & Galbraith (2003) som vi kan se i tabellen under.

	Ability to specify problem clearly	Ability to set up model	Ability to solve, interpret, validate, refine	Ability to communicate results
Grunnleggende	Can proceed only when clues are given	Can proceed only when clues are given	Can solve maths problem given assistance through clues and hints	Communicates reasonably, re: Presentation, conciceseness, oral reporting
Middels	Can extract clues from information and clearly define the problem	Can develop model with minium assistance	Can solve the basic problem with no assistance	Communicates clearly in the above categories
Avansert	Can extract clues, define problem if information is open ended, insufficient, reduntant	Can develop model independently where no clues exist	Can solve the problem independently. Can evaluate and refine the model	Communicates clearly in the above categories, using innovative and creative ideas

Det er noen svakheter i disse beskrivelsene med tanke på å vurdere elevene i matematisk modelleringskompetanse. For det første er de ganske generelle litt lite i dybden av hva man skal se etter hos elevene. Det er mange faktorer som inngår i de ulike underkompetansene som ikke blir tatt hensyn til i denne beskrivelsen, og de slår også sammen de tre siste underkompetansene til en kompetanse (samtidig som de har kommunikasjon som en egen kompetanse). De tar også ikke hensyn til de tre dimensjonene for måloppnåelse, slik de er beskrevet i KOM-prosjektet.

Men selv om disse beskrivelsene går litt for lite i dybden enn hva som trengs for å kunne gi en helhetlig vurdering av elevenes modelleringskompetanse, gir de også et innblikk i hva som skiller en elev på grunnleggende, middels og avansert nivå. En elev på grunnleggende nivå klarer kun å gå videre når den får hint eller assistanse, mens mer elever på mer avansert nivå klarer å selvstendig bruke matematisk kunnskap for å løse problemene uten hint eller assistanse. Elever på avansert nivå klarer også løse åpne oppgaver, hvor de må definere problemet selv, mens lavere nivå trenger mer strukturerte oppgaver hvor fremgangsmåten er mer opplagt.

Til toppen

Klassifisering av modelleringsoppgaver

Når man designer oppgaver innenfor modellering, kan man enten fokusere på et holistisk fokus hvor elevene utfører, mer eller mindre, alle stegene i modelleringsprosessen, eller mer atomistiske oppgaver som fokuserer på delkompetansene i prosessen, f.eks. at elevene kun skal tolke resulter fra en modellering. Videre er det andre aspekter som man må vurdere, slik som på hvilken måte data blir inkludert i oppgaven og kobling til virkeligheten. Beskrivelsene av disse under er hovedsakelig tatt fra Maaß (2010).

Data

Overflødig data: Oppgaver som inneholder mer data enn nødvendig. Her må elevene gjøre vurderinger av hva som er relevant og ikke for å løse problemet.
Manglende data: Oppgaver som mangler data. Elevene må enten samle inn ekstra data eller gjør egne estimeringer. Slike oppgaver har ofte flere mulige løsninger og fremgangsmåter.
Manglende og overflødig data: Oppgaver som både mangler data og har data som ikke er relevant for løsningen av problemet. Mange autentiske situasjoner passer inn i denne kategorien da man ofte har mye data, men ikke alltid alt som man trenger for å løse problemet.
Inkonsekvente data: Oppgaver som med hensikt har med data som ikke passer, slik at elevene må reflektere over konteksten.
Samsvarende data: Oppgaven inneholder nøyaktig den dataen som er nødvendig for å løse modelleringsproblemet.

Hvilke av disse måtene å implementere data som passer for en gitt oppgave, vil avhenge av hva som er hensikten med oppgaven og hva man ønsker å teste/ferdigheter man ønsker å utvikle. Hvis fokuset er på det å oversette en idealisert modell til en matematisk modell, kan det være hensiktsmessig å inkludere all nødvendig data/informasjon som trengs i oppgaven, dvs. gå for "samsvarende data". Overflødig og manglende data passer til oppgaver hvor man ønsker å enten jobbe med, eller teste, elevenes evne til å utfore de første stegene i modelleringsprossesen, slik som forenkling.

For oppgaver med manglende data, har man to muligheter: 1) det forventes at elevene skal finne manglende data eller 2) det forventes at elevene estimerer manglende data ved å gjøre egne antagelser. Eksempler på oppgave hvor elevene må finne manglende data ved å gjøre egne antagelser er oppgave 16 på eksempelsettet til 1P-eksamen i 2020 (se side 13) hvor elevene skal beregne hvor mange kjøttboller man får plass til i en kasserolle. Elevene får ikke informasjon om kasserollens eller kjøttbollenes størrelse og må gjøre egne antagelser for å finne et godt estimat for disse.

For oppgaver hvor det forventes at elevene må finne manglende data, må man finne en balanse mellom tiden det vil ta elevene å finne dataene og forventet læringsutbytte elevene vil ha ved å gjøre denne letingen. Desto lengre tid man forventer det vil ta elevene å finne relevant data, desto viktigere blir det at denne letingen gir relevant læringsutbytte i matematikkfaget. Hva som teller som relevant læringsutbytte, vil avhenge fra fag til fag. At elevene bruker mye tid på å finne talldata i tekniske rapporter, for eksempel, vil sannsynligvis være mer relevant for teoretiske fag som R-matematikk en praktiskrettet fag som P-matematikk. Det betyr ikke at det ikke er nyttig å la elevene lete i tekniske rapporter i praktiske matematikkemner som P-matematikk, men man må som sagt vurdere tiden man forventer det vil ta elevene å finne relevant informasjon opp mot relevant læringsutbytte.

Kobling til virkeligheten

Autentiske oppgaver: Oppgaver som både har en tydelig kobling til realistiske situasjoner, men også der problemet som skal løses er relevante for den gitte konteksten og med autentiske data (f.eks. tatt fra statistisk sentralbyrå).
Realistiske oppgaver: Oppgaver hvor situasjonen ligger nært opp til virkeligheten, men der dataene og/eller problemet ikke nødvendigvis er autentisk. Dette kan f.eks. være at man bruker konstruerte data, eller der man bruker ekte data, men med kunstige problemstillinger.
Innebygde tekstoppgaver: Oppgaver hvor den virkelighetsnære konteksten fungerer mer som et bakteppe for oppgaven, slik at oppgaven føles mer virkelighetsnær, men der denne konteksten ikke er fokuset i oppgaven. Slike oppgaver fokuserer ofte på å teste/øve på spesifikke matematiske ferdigheter og har ofte en mer klar struktur og måte å bli løst på (Schluter & Besser 2014).
Bevisst kunstig: Situasjoner som er bevisst kunstig hvor elevene må reflektere over konteksten. Maaß (2010) gir følgende oppgave som eksempel på en bevisst kunstig kontekst:
The family Miller is very happy because Mrs. Miller has been pregnant since March of this year. They are expecting their fourth child. The first was born in 01/01, the second in 02/02 and the third in 03/03. When will the fourth child be born?

Her var det mange elever som fort svarer "04/04" uten å tenke istedenfor å bruke informasjonen at Mrs. Miller har vært gravid siden Mars. Slike kunstige situasjoner kan brukes til trene elevene til å kritisk vurdere situasjonen og informasjonen som blir gitt i en oppgave.
Fantasioppgaver: Oppgaver hvor situasjonen er tatt fra fantasiverdener. Maaß (2010) argumenterer for at disse kan appelerede til yngre elever.

Legg merke til at alle klassifiseringer over har en viss grad av kobling til virkeligheten (eller en oppfunnet verden i det siste punktet). Det er ingen klassifisering som heter "ingen kobling til virkeligheten". Dette er fordi et viktig poeng med oppgaver innenfor modellering er at det er en kobling til virkeligheten da matematisk modellering handler om å modellere virkeligheten (Geiger et al. 2021).

Valg av kontekst kan ha en påvirkning på hvordan elever løser oppgaven. Strategisk valg av kontekst kan gi økt motivasjon hos elevene til å løse oppgaven, men uheldig valg av kontekst kan også fungere som en distraksjon, f.eks. hvis elevene er for emosjonelt koblet til konteksten (Maaß 2006). Dersom man ønsker at elevene bruker egne erfaringer i løsing av oppgaven, f.eks. i å vurdere gyldigheten av en modell, er det viktig at elevene har kjennskap til konteksten.

Til toppen

Peer Instruction-metoden

Flere av oppgavene i dette kompendiet er formet som flervalgsspørsmål / quizzer. Bruk av slike quizzer kan være en fin måte å fremme faglig diskusjon. Mange elever synes matematikk er vanskelig og siden matematisk modellering ofte har høyere kognitive krav enn tradisjonelle regneoppgaver, vil mange av disse også sannsynligvis bli sett på som vanskelige. Slike flervalgsoppgaver kan gi oppgavene en lavere inngangstersken da elevene har et sted å starte med de oppsatte alternativene. Slike oppgaver kan også utfordre typiske feil og misoppfatninger ved at man legger slike typiske feil og oppfatninger som alternativer på oppgavene.

For å effektivisere bruken av slike quizzer for å fremme faglige samtaler, anbefales det å bruke responsystemer (f.eks. ala Mentimeter og Socrative) og Peer Instruction-metoden (Kahoot anbefales ikke for Peer Instruction-metoden). Slike systemer fungerer ved at man bruker responssystemene til å stemme på hvilke alternativer man mener er riktige. Selv om man kan bare be elevene diskutere alternativene uten å bruke slike systemer, kom det frem i en studie at bruken av responsystemer førte til at diskusjonene føltes mer meningsfulle (Hansen 2008). Bruken av responssystemer har også andre fordeler, f.eks. at man får et kjappt innblikk i hvorvidt elevene forstår de ulike oppgavene (for en innføring av bruk av responssystemer i vurderingspraksis, se denne videoen.)

Peer Instruction-metoden er en måte å bruke slike quizzer i undervisningen. Metoden består av flere steg:

Lærer presenterer quiz/flervalgsoppgave for elevene
Elevene får 1-2 minutter til å tenke over spørsmålet og svarene. Ikke lov å prate med andre.
Alle stemmer på hva de tror er det riktige svaret (NB: ikke vis svaret av denne avstemmingen).
Elevene diskuterer spørsmålet sammen i grupper hvor læreren oppfordrer elevene til å forsvare sitt valg. Målet er ikke bare å finne rett svar (man kan ha oppgaver med flere rette svar), men også argumentere for hvorfor rett svar er rett (og hvorfor uriktig svar er uriktig).
Elevene stemmer på nytt på hva de mener er det rette svaret. Elevene stemmer individuelt og trenger ikke ha blitt enige i gruppen om hva de skal stemme.
Lærer viser frem svarfordelingene av de to avstemmingene og går gjennom oppgaven hvor han/hun forklarer både hvorfor det rette alternativet er riktig og hvorfor uriktige alternativer ikke er riktige.

Denne metoden har vist å føre til bedre faglige diskusjoner enn om man bare går rett inn i diskusjon etter at quizzene blir presentert (Nielsen et al. 2012; Nielsen et al. 2016). Det er derimot viktig å ikke vise resultatet av den første avstemmingen, da dette kan være ødeleggende for den kommende diskusjonen (Nielsen et al. 2012). Vent med å vise denne til etter elevene har stemt andre gang.

Til toppen

Eksterne ressurser

Under er en liste med nyttige lenker til eksterne ressurser som kan være nyttige for arbeid med matematisk modellering.

EduData - Lær med data fra virkeligheten: Læringsopplegg som bruker ekte data ved hjelp av programmering.
Matematikkseneteres side om matematisk modellering
Oppgaver til 1P fra NDLA, inkludert modelleringsoppgaver
Matematikksenterets side som matematisk modelleringskompetanse

Til toppen

Referanser

Forrige Neste