Holistiske oppgaver
Lærerveiledning
La oss anta at det er mulig å klippe gressplenen med jevn fart og at Ola ikke trenger å stoppe opp for å lade gressklipperen underveis (vi ser også at den oppgitt gressklipperen er en bioklipper, så Ola slipper å stoppe opp for å tømme oppsamlet gress). Hvis vi lar \(A\) være arealet av gressplenen og \(k_a\) være hvor mye areal som blir klipt per sekund, vil tiden det tar å klippe kressplenen være gitt ved følgende modell:
\[ t = \frac{A}{k_a} \]Dvs. at tiden er proposjonal med arealet av plenen og omvendt proporsjonal med arealet som blir klipt per sekund.
For å finne \(k_a\), ser vi på spesifikasjonene til den oppgitte gressklipperen. Der ser vi at klipperen har en maksfart på \(v = 4.6 \text{ km/t} = (4.6/3.6) \text{ m/s}\) og en klippebredde på \(a=48 \text{ cm} = 0.48 \text{ m}\). La oss anta at Ola kjører på med full fart gjennom hele klippingen (han har jo en kamp å rekke) og at tiden det tar for å endre retning på gressklipperen når han kommer til en av endene på gressplenen er neglisjerbar. Dette gir oss:
\[ k_a = v a \]Tiden det tar for å klippe plenen er dermed:
\[ t = \frac{15 \cdot 20 \text{ m}^2}{(4.6/3.6) \text{ m/s} \cdot 0.48 \text{ m}} = 489.13 \text{ s} \approx 8.2 \text{ min} \]Han bruker litt over 8 minutter på å klippe plenen, så han rekker nok fint kampen hvis han setter igang med en gang han får beskjed om å klippe kampen.
Denne oppgaven har et stort fokus på de første tre stegene i en modelleringssyklus, men validering vil også være et fokus for å dobbeltsjekke hvorvidt resultatet virker realistiske. Får elevene som resultat at Ola er ferdig på noen få sekunder eller flere timer, er det tydelig at det må være noe feil. Vi har også gjort et antagelse det er verdt å sjekke hvorvidt den har en stor påvirkning. Vi har antatt at tiden det tar å snu gressklipperen er neglisjerbar. La oss undersøke den antagelsen nærmere.
La oss anta at det tar 4.0 sekunder å snu grassklipperen når han kommer til ended av grassklipperen. Vi antar videre at han klipper frem og tilbake langs langsiden av plenen for å ha færrest mulige ganger han må snu klipperen. Plenen har en bredde på 15 meter. Siden klipperen klipper i en bredde på 0.48 m, vil antar lengder Ola må gå være gitt ved:
\[ n = \frac{ 15 \text{ m} }{ 0.48 \text{ m} } = 31.25 \]Dvs. at Ola må gå frem og tilbake 32 ganger for å få klipt hele plenen, som vil si at Ola må snu 31 ganger. Med 4.0 sekunder for å snu klipperen, får vi:
\[ t_{\text{snu}} = 31 \cdot 4.0 \text{ s} = 124 \text{ s} \approx 2.1 \text{ min} \]Siden det tok 8.2 minutter å klippe, ender vi opp med en total tid på 10.3 minutter. Det skulle likevel vært nok tid til å rekke starten av kampen.
Det er derimot en svakhet i måten vi har regnet ut den første klippetiden. Vi har antatt at han alltid klarer å fullt utnytte klippebredden til gressklipperen. Men vi har i utregningen over fikk vi at han må gå 31.25 lengder, dvs. at han må gå frem og tilbake 32 ganger, men der han ikke utnytter hele klippebredden på den siste lengden. Vil det ha nevneverdig påvirkning på tiden? Istedenfor å bruke modellen:
\[ t = \frac{A}{k_a} \]la oss heller bruke at han går \(n=32\) lengder på \(l=20\) meter. Tiden han bruker på å gå med klipperen blir dermed:
\[ t = \frac{n \cdot l}{v} = \frac{32 \cdot 20}{4.6/3.6} \text{ s} = 500.87 \text{ s} \approx 8.35 \text{ min} \]Dette er ikke nevneverdig mer enn den opprinnelige gåtiden på 8.2 minutter.