Uegentlige integraler

---

Løs integralet $\displaystyle \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$

---

Løsning

Integralet over ser i første omgang problematisk ut siden vi har uendelig som den ene grenseverdien. Vi kan som kjent ikke sette inn uendelig siden dette er et tall, men vi kan behandle uendelig som en grense:

\begin{align} \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{t \to \infty} \int_1^{t} \frac{1}{x^2} dx \end{align}

Integraler hvor nedre eller øvre integrasjonsverdi består av en grense, kaller vi for uegentlige integraler. Vi kan nå utføre integralet med $t$ som øvre grense, for så la $t$ gå mot uendelig.

\begin{align} \lim_{t \to \infty} \int_1^{t} \frac{1}{x^2} dx &= \lim_{t \to \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^t = \lim_{t \to \infty}\left( -\frac{1}{t} \right) - \left( -\frac{1}{1} \right) = 0-(-1) = \underline{\underline{1}} \end{align}