Integrasjon og bevegelse

Ola sykler i ett minutt med en fart gitt ved uttrykket $v(t) = 3t^3 - 4t^2 + t$, hvor $t$ er tiden i minutter. Anta at farten er gitt i km/minutt.

1. Hvor langt kommer Ola?
2. Hvor langt strekning har Ola tilbakelagt?

---

Løsning

Del 1

For å få et inntrykk av sykleturen, tar vi først en titt på funksjonen:

Ola starter med null fart for så å øke farten til ca. tiden 0.18 minutter. Ola bremser så ned til han til slutt har null fart ca. etter tiden 0.33 minutter. Han begynner så å sykle med negativ hastighet, dvs. han sykler tilbake veien han kom. Han øker farten frem til rundt 0.75 minutt for så å bremse til han står i ro etter på tiden 1 minutt.

Vi har tidligere sett at det ubestemte integralet av farten, $v$, vil gi oss et uttrykk for posisjonen, $s$. For å forstå hva et bestemt integral av $v$ betyr, kan vi starte med å skrive om

\begin{align} v = \frac{ds}{dt} \end{align}

til

\begin{align} ds = v \cdot dt \end{align}

Dette viser at en (uendelig) liten endring i posisjonen er gitt ved farten multiplisert med en liten endring i tid. Et bestemt integral kan brukes til å summere alle små posisjonsendringer slik at vi ender opp med den endelige posisjonen (se avsnittet om Riemannsummer for mer informasjon):

\begin{align} s = \int_{t=0}^{t=1} ds &= \int_0^1 v \cdot dt = \int_0^1 (3t^3 - 4t^2 + 1) dt \\ &= \left[ \frac{3}{4}t^4 - \frac{4}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 \right]_0^1 = \frac{3}{4} - \frac{4}{3} + \frac{1}{2} \\ &= \frac{9}{12} - \frac{16}{12} + \frac{6}{12} = -\frac{1}{12} \approx -0.08 \end{align}

Ola kom altså -0.08 km, dvs. 80 m bak stedet han startet.

Kommentar

Vi har tidligere sett at bestemte integraler gir oss arealet mellom funksjonen og $x$-aksen, men der vi får et negativt "areal" hvor funksjonen er negativ. Her får det negative arealet en praktisk mening: når funksjoner er negativ har vi "negativ" fart, altså vi beveger oss bakover. Arealet under kurven er hvor langt Ola har syklet. Positivt areal betyr her at vi beveger oss fremover, mens negativt areal betyr at vi beveger oss bakover. Når vårt totale "areal" endte opp med å være negativt, betyr det at vi endte opp bak vårt opprinnelige startsted.

Del 2

Arealet under kurven gir oss hvor langt vi beveger oss. Vi er nå derimot ikke interessert i hvor Ola ender opp, men heller hvor lang strekning han har syklet. Altså dersom han sykler 1 m frem og 1 m tilbake, har han posisjon 0 m (altså der han startet), men han har syklet 2 m. I vårt eksempel betyr det at vi må finne det virkelige arealet mellom funksjonen og $x$-aksen. Vi ser at funksjonen er negativ fra en plass mellom $t=0.2$ og 0.4 og frem til $t=1$. Dersom vi vet hvor funksjonen er negativ, kan vi integrere over dette for seg selv for så ta absoluttverdien av det negative "arealet". Vi starter med å finne ut hvor funksjonen er null:

\begin{align} 3t^3 - 4t^2 + t &= 0 \\ t (3t^2 - 4t + 1) &= 0 \end{align}

Vi ser allerede en løsning: $t=0$. Løser vi annengradslikningen inni parantesen, får vi i tillegg $t=1/3$ og $t = 1$. Dette stemmer bra med figuren vår. Vi deler opp integralet over funksjonen hvor den er positiv og hvor den er negativ. Den totale tilbakelagte strekningen, $l$, blir dermed:

\begin{align} l &= \int_0^{1/3} (3t^3 - 4t^2 + 1) dt + \left| \int_{1/3}^{1} (3t^3 - 4t^2 + 1) dt \right| \\ &= \left[ \frac{3}{4}t^4 - \frac{4}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 \right]_0^{1/3} + \left|\left[ \frac{3}{4}t^4 - \frac{4}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 \right]_{1/3}^1\right| \\ &= \left( \frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^4 - \frac{4}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^3 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2 \right) - 0 \\ &+ \left| \left(\frac{3}{4} - \frac{4}{3} + \frac{1}{2}\right) - \left( \frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^4 - \frac{4}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^3 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2 \right) \right| \\ &\approx 0.02 + \left| -0.10 \right| = 0.12 \end{align}

Ola har med andre ord syklet ca. 120 m til sammen.