Utledning av bevegelseslikningen for posisjon

---

Bruk integrasjon til å vise at posisjonen til et legeme som beveger seg med konstant akselerasjon, $a$, langs en rett linje er gitt ved:

\begin{align} s(t) = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \end{align} hvor $t$ er tiden og $v_0$ er startfarten (altså ved tiden $t=0$).

---

Løsning

Fra derivasjon har vi at fart, $v$, er gitt ved den deriverte av posisjonen, $s$:

\begin{align} v = \frac{ds}{dt} \end{align}

Videre er akselerasjon, $a$, definert som hvor fort farten endrer seg. Vi har da:

\begin{align} a = \frac{dv}{dt} \end{align}

Siden $a$ er den deriverte av $v$, kan vi finne farten som funksjon av tid ved å integrere akselerasjonen. Dersom vi antar at akselerasjonen er konstant, som vi kan kalle $a$, får vi:

\begin{align} v(t) = \int a(t) \ dt = \int a \ dt = at + C \end{align}

Dersom vi kaller farten ved tiden 0 for $v_0$, får vi:

\begin{align} v(0) &= a\cdot 0 + C = v_0 \\ C &= v_0 \end{align}

Vi har dermed et uttrykk for farten til legemet:

\begin{align} v(t) = at + v_0 \end{align}

Siden $v$ er den deriverte av posisjonen, $s$, kan vi finne posisjonen ved å integrere farten:

\begin{align} s(t) = \int v(t) \ dt = \int \left( at + v_0 \right) dt = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + C' \end{align}

Dersom vi antar at posisjonen ved tiden $t=0$ er null, får vi:

\begin{align} s(0) = \frac{1}{2}a\cdot 0^2 + v_0 \cdot 0 + C' = 0 \end{align}

som gir oss $C'=0$ og vi står igjen med:

\begin{align} s(t) = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \end{align}