Integrasjonsmetoder og integrasjon i fysikk

I dette nettkompendiumet skal vi se på to viktige integrasjonsmetoder, delvis integrasjon og substitusjon. I tillegg skal vi se på bruk av polynomdivisjon og delbrøkoppspalting som et verktøy for å integrere rasjonale funksjoner, samt eksempler på integrasjonsregning i fysikk.

Fra fysikken og uegentlig integrasjon

Videotid: ca. 34 min.

  1. Utledning av bevegelseslikningen for posisjon
  2. Integrasjon og bevegelse
  3. Uegentlig integral

Delvis integrasjon

Videotid: ca. 45 min.

  1. Delvis integrasjon
  2. Eksempel 1
  3. Eksempel 2
  4. Eksempel 3
  5. "Bevis" for at 0=1

Substitusjon

Videotid: ca. 29 min.

  1. Integrasjon ved substitusjon
  2. Eksempel 1
  3. Eksempel 2
  4. Eksempel 3

Forelesning

Under er listen av oppgaver vi skal fokusere på i forelesningene. Husk å levere det obligatoriske selvevalueringsskjemaet før forelesning (se canvas).

Forelesningen

Sammendrag

Integraler i fysikken

La $s(t)$, $v(t)$ og $a(t)$ være henholdsvis posisjonen, farten og akselerasjonen til en gjenstand ved tiden $t$. Vi har da følgende sammenhenger: \begin{align} &s(t) = \int v(t) \ dt &v(t) = s'(t)\\ &v(t) = \int a(t) \ dt &a(t) = v'(t)\\ \end{align}

Uegentlige integraler

Et integral hvor funksjonen ikke er definert i en eller begge av integrasjonsgrensene kaller vi et uegentlig integral. Eksempel på slike grenser kan f.eks. være $\pm \infty$. Dersom funksjonen ikke er definert i integrasjonsgrensen, behandler vi integrasjonsgrensen som en grenseverdi, f.eks.:

\begin{align} \int_a^{\infty} f(x) \ dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^{t} f(x) \ dx \end{align}

Substitusjon

\begin{align} \int_a^b f\left( g(x) \right) \cdot g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du \end{align} hvor $u = g(x)$ og $du = g'(x)dx$.

Delvis integrasjon

Anta at vi har to funksjoner $u=u(x)$ og $v=v(x)$ med deriverte henvoldsvis $u'$ og $v'$. Vi har da følgende sammenheng: \begin{align} \int u \cdot v' \ dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \ dx \end{align} Ved å være kreative ved valg av $u$ og $v'$, kan likheten over forenkle visse integraler.