Eksempel 3

Regn ut integralet $\displaystyle \int_{1}^{3} \frac{2x+3}{x^2+3x}dx$.

---

Løsning

Dersom vi velger $u=x^2+3x$, får vi

\begin{align} \frac{du}{dx} &= 2x+3 \\ du &= (2x+3) dx \end{align}

Før vi setter opp integralet vårt, må vi regne ut de nye grensene. Vi setter inn grensene for $x$ i uttrykket for $u$ og får

\begin{align} u(1) &= (1)^2 + 3(1) = 4 \\ u(3) &= (3)^2 + 3(3) = 18 \end{align}

Integralet vårt blir dermed

\begin{align} \int_{1}^{3} \frac{2x+3}{x^2+3x}dx &= \int_{1}^{3} \frac{1}{x^2+3x}(2x+3)dx = \int_{4}^{18} \frac{1}{u} du = [\ln |u|]_{4}^{18} \\ &= \ln 18 - \ln 4 = \ln\left( \frac{18}{4} \right) = \underline{\underline{\ln(4.5) \approx 1.50}} \end{align}

Generelt: bestemt integral

Vi kan generalisere dette til følgende uttrykk:

\begin{align} \int_a^b f\left( g(x) \right) \cdot g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du \end{align}

hvor $u = g(x)$ og $du = g'(x)dx$.