Eksempel 2

Regn ut integralet $\displaystyle \int \frac{1}{x \ln x} dx$.

---

Løsning

Dersom vi skriver om funksjonen, blir det lettere å se hva vi skal velge som $u$: \begin{align} \frac{1}{x \ln x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln x} \end{align} Siden $\frac{1}{x}$ er den deriverte av $\ln x$, er det naturlig å prøve substitusjonen \begin{align} u = \ln x \end{align} Dette gir oss: \begin{align} \frac{du}{dx} &= \frac{1}{x} \\ du &= \frac{1}{x} dx \end{align} Vi setter dette inn i integralet vårt og får: \begin{align} \int \frac{1}{x \ln x} dx &= \int \frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{u} du \\ &= \ln|u| + C = \underline{\underline{\ln\left|\ln x\right| + C}} \end{align}