Forenkle integraler ved delbrøkoppspalting

Regn ut integralet $\displaystyle \int \frac{3-5x}{x^2-1} dx$.

---

Løsning

Dette er et eksempel hvor hverken substitusjon eller delvis integrasjon vil være spesielt nyttig. Dette er derimot et integral hvor vi kan bruke det vi kaller for delbrøkoppspalting.

Dette er en teknikk som fungerer bra for integralet av ekte rasjonale funksjoner. Et funksjonsuttrykk som består av et polynom i både teller og nenver, kalles en ekte rasjonal brøk dersom polynomet i nevneren er av høyere orden enn brøken i telleren. Funksjonsuttrykkene under er eksempler på ekte rasjonale brøker:

\begin{align} f_1(x) = \frac{1}{x^2 + 2x - 3} \ \ \ \ \ f_2(x) = \frac{x+2}{2x - x^2} \ \ \ \ \ f_3(x) = \frac{5x^2 - 5x - 2}{x^3 - x} \end{align}

Dersom polynomet i nevneren har reelle røtter, kan vi skrive om funksjonen ved å bruke røttene. F.eks. har den første funksjonen, den vi skal integrere, røtter ved $x=1$ og $x=-1$. Vi kan dermed skrive:

\begin{align} \frac{3-5x}{x^2-1} = \frac{3-5x}{(x+1)(x-1)} \end{align}

Delbrøkoppspalting går ut på at vi deler opp brøken i flere småbrøker med $(x-a)$, hvor $a$ er en rot, som nevner. I vårt eksempel har vi to røtter. Vi prøver derfor å skrive om funksjonen til to brøkuttrykk:

\begin{align} \frac{3-5x}{(x+1)(x-1)} = \frac{A}{(x+1)} + \frac{B}{(x-1)} \end{align}

For å kunne integrere disse to funksjonsuttrykkene, må vi vite hva $A$ og $B$ er. Vi kan finne disse ved å slå sammen de to funksjonsuttrykkene til et enkelt uttrykk og se hva $A$ og $B$ må være for at funksjonsuttrykket skal være lik det vi hadde før vi delte opp:

\begin{align} \frac{3-5x}{x^2-1} &= \frac{3-5x}{(x+1)(x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} \\ &= \frac{A}{x+1}\cdot\frac{x-1}{x-1} + \frac{B}{x-1}\cdot\frac{x+1}{x+1} \\ &= \frac{A(x-1) + B(x+1)}{(x+1)(x-1)} \\ &= \frac{x(A+B) + (B-A)}{(x+1)(x-1)} \end{align}

Vi har nå likheten

\begin{align} \frac{3-5x}{(x+1)(x-1)} = \frac{x(A+B) + (B-A)}{(x+1)(x-1)} \end{align}

For at likheten skal holde, må tellerene være like:

\begin{align} 3-5x = (A+B)x + (B-A) \end{align}

På venstresiden står det -5 foran $x$ mens det står $(A+B)$ foran $x$ på høyresiden. For at likheten skal holde, må vi dermed ha:

\begin{align} A + B &= -5 \\ A &= -5 - B \end{align}

I tillegg må vi ha

\begin{align} 3 &= B - A \\ 3 &= B - (-5 - B) \\ 3 &= B + 5 + B \\ 2B &= 3 - 5 = -2\\ B &= -1 \end{align}

Som gir oss

\begin{align} A = -5 - B = -5 - (-1) = -4 \end{align}

og vi får

\begin{align} \frac{3-5x}{(x+1)(x-1)} = \frac{-4}{x+1} + \frac{-1}{x-1} \end{align}

Integralet vårt blir dermed:

\begin{align} \int \frac{3-5x}{x^2-1} dx &= \int \frac{-4}{x+1}dx + \int \frac{-1}{x-1}dx \\ &= \underline{\underline{- 4\ln|x+1| - \ln|x-1| + C}} \end{align}