Forenkle integraler ved polynomdivisjon

---

Regn ut integralet $\displaystyle \int \frac{x^3-4x+1}{x+2} dx$.

---

Løsning

Vi har et funksjonsuttrykk som består av en brøk med et polynom i både teller og nevner. Forskjellen fra forrige eksempel, er at polynomet i telleren er av høyere orden enn polynomet i nevneren. Vi kaller da funksjonsuttrykket for en uekte rasjonal funksjon. Dette hadde vi også kalt dem dersom polynomene var av lik orden. Eksempler på uekte rasjonale funksjoner er:

\begin{align} f_1(x) = \frac{x^4 - 5x - 2}{x^2 - x} \ \ \ \ \ f_2(x) = \frac{x^2+2}{2x - 1} \ \ \ \ \ f_3(x) = \frac{3x^2 - 3x + 1}{x^2 + 2x - 3} \end{align}

Vi kan ikke bruke delbrøkoppspalting for uekte rasjonale funksjoner, men vi kan prøve å forenkle funksjonsuttrykket ved å utføre en polynomdivisjon. Utført på integranden oppgav i starten, får vi:

\begin{align} \frac{x^3-4x+1}{x+2} = (x^3-4x+1) : (x + 2) = x^2 - 2x + \frac{1}{x+2} \end{align}

Dette er ledd som alle er trivielle å integrere. Vi erstatter det opprinnelige integralet vårt med de tre trivielle leddene og får:

\begin{align} \int \frac{x^3-4x+1}{x+2} dx &= \int x^2 \ dx - 2 \int x \ dx + \int \frac{1}{x+2} dx \\ &= \underline{\underline{\frac{1}{3}x^3 - x^2 + \ln|x+2| + C}} \end{align} I mange tilfeller vil det siste leddet være et litt vanskeligere integral enn de første leddene, men det er likevel et integral som ofte kan løses ved andre standardteknikker som delvis integrasjon, substitusjon eller delbrøkoppspalting.