Eksempel 1
Regn ut $\int x^2 e^x \ dx$.
Løsning
Funksjonen likner på den vi hadde i eksempel 1 med unntak av at vi har $x^2$ istedenfor $x$. La oss gjøre et liknende valg som i forrige eksempel og velge $u=x^2$ og $v'=e^x$. Vi får da $u'=2x$, $v=e^x$ og: \begin{align} \int x^2 e^x \ dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2\int x e^x dx \end{align} For å løse det siste integralet, kan vi bruke delvis integrasjon enda en gang. Dette har vi allerede regnet ut i forrige eksempel. Vi får dermed: \begin{align} \int x^2 e^x \ dx = x^2 e^x - 2 (x e^x - e^x) + C = \underline{\underline{(x^2 - 2x + 2)e^x}} \end{align} Vi kan sjekke at dette er riktig ved å derivere funksjonsuttrykket: \begin{align} \frac{d}{dx}[(x^2-2x-1)e^x] = (2x-2)e^x + (x^2-2x+2)e^x = (2x - 2 + x^2 - 2x + 2)e^x = x^2e^x \end{align}Nøkkelpoeng
- Noen ganger må man bruke delvis integrasjon flere ganger for å komme frem til en løsning.
Oppgaver
Oppg. 1
Når man må bruke delvis integrasjon flere ganger, slik som i eksemplet over, er det viktig å gjøre et liknende valg for $u$ og $v'$ når man løser det opprinnelige integralet. Det som som var $u'$ og $v$, må nå velges som henholdsvis $u$ og $v'$ i det nye integralet.
Når vi løste $\int x^2 e^x \ dx$, valgte vi $u=x^2$ og $v'=e^x$. Vi endte da opp med integralet $2\int x e^x$ på høyre side. Dette løste vi med å igjen velge $v' = e^x$ og $u$ lik polynomet (her $x$). Hva skjer dersom prøver å løse $\int x^2 e^x \ dx$ ved å ta et motsatt valg for $u$ og $v'$ på det andre integralet?
LøsningOppg. 2
Anta at vi løser et integral ved delvis integrasjon
\begin{align} \int (u \cdot v' ) dx &= u\cdot v - \int (u'\cdot v) dx \end{align}der det andre integralet $\int (u'\cdot v) dx$ må løses ved delvis integrasjon. La $u_{\textrm{ny}}$ $v_{\textrm{ny}}'$ være valget for $u$ og $v'$ i integralet på høyre side. Vis at man alltid ender opp med $0=0$ dersom man velger $u_{\textrm{ny}} = v$ og $v_{\textrm{ny}}' = u'$.
Løsning