Eksempel 2

Regn ut $\int \ln x \ dx$

---

Løsning

Ved første øyekast virker kanskje ikke dette som et sted hvor delvis integrasjon kan være nyttig, vi har tross alt bare èn funksjon og ikke et produkt av to funksjoner. Vi kan derimot "late" som at det er to funksjoner multiplisert sammen ved å "multiplisere" med tallet 1: $$\begin{align} \int \ln x \ dx = \int 1\cdot\ln x \ dx \end{align}$$ Dersom vi nå velger $u'=1$ og $v=\ln x$, får vi $u=x$ og $v' = \frac{1}{x}$ og: $$\begin{align} \int 1\cdot\ln x \ dx &= x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx \\ &= x \ln x - \int dx \\ &= \underline{\underline{x \ln x - x + C}} \end{align}$$ Vi kan sjekke at dette er riktig ved å derivere resultatet: $$\begin{align} \frac{d}{dx}[x \ln x - x + C] &= \frac{d}{dx}(x \ln x) - \frac{d}{dx} x + \frac{d}{dx} C \\ &= \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 + 0 = \ln x + 1 - 1 = \ln x \end{align}$$