Eksempel 3

Regn ut $\displaystyle \int e^x \sin x \ dx$

---

Løsning

Dersom vi velger $u=e^x$ og $v'=\sin x$, får vi $u'=e^x$ og $v = -\cos x$. Innsatt i likheten $\int u \cdot v' \ dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \ dx$, får vi:

\begin{align} \int e^x \sin x \ dx = -e^x\cos x - \int (-e^x\cos x)dx = -e^x\cos x + \int e^x\cos x \ dx \end{align}

Vi kan prøve å løse det siste integralet ved å bruke delvis integrasjon enda en gang. Vi velger $u=e^x$ og $v' = \cos x$. Dette gir oss $u' = e^x$ og $v = \sin x$, og vi får:

\begin{align} \int e^x\cos x \ dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \ dx \end{align}

Innsatt i det opprinnelige integralet, får vi

\begin{align} \int e^x \sin x \ dx &= -e^x\cos x + \int e^x\cos x \ dx \\ &= -e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \sin x \ dx \\ &= e^x(\sin x - \cos x) - \int e^x \sin x \ dx \end{align}

Her kan det virke som vi ikke kommer noen vei siden vi bare endte opp med et nytt integral. Merk at dette integralet er akkurat det samme som det som står på venstresiden av likheten. Dersom vi flytter integralet på høyresiden over på venstresiden, får vi:

\begin{align} \int e^x \sin x \ dx &= e^x(\sin x - \cos x) - \int e^x \sin x \ dx \\ \int e^x \sin x \ dx + \int e^x \sin x \ dx &= e^x(\sin x - \cos x) \\ 2\int e^x \sin x \ dx &= e^x(\sin x - \cos x) \\ \int e^x \sin x \ dx &= \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) \end{align}

Og dermed har vi faktisk løst integralet. Det eneste som mangler, er en vilkårlig konstant:

\begin{align} \int e^x \sin x \ dx &= \underline{\underline{\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C}} \end{align}