"Bevis" for at 0=1

Bevis

La oss løse integralet

\begin{align} \int \frac{1}{x} dx \end{align}

ved hjelp av delvis integrasjon. Vi bruker likheten

\begin{align} \int u \cdot v' \ dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \ dx \end{align}

der vi velger $u=\frac{1}{x}$ og $v'= 1$, som gir $u' = -\frac{1}{x^2}$ og $v=x$. Ved å utnytte at vi kan skrive

\begin{align} \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{x} \cdot 1 \ dx \end{align}

så får vi:

\begin{align} \int \frac{1}{x} dx &= x \cdot \frac{1}{x} - \int x \cdot -\frac{1}{x^2} dx \\ \int \frac{1}{x} dx &= 1 + \int \frac{1}{x} dx \\ \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x} dx &= 1 \\ 0 &= 1 \end{align}

Problemet med beviset

Det er opplagt at noe må være feil med beviset, men likevel har vi ikke gjort noe som helst galt i vår utregning. Problemet er faktisk at likheten vi bruker ved delvis integrasjon er ufullstendig:

\begin{align} \int u \cdot v' \ dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \ dx \end{align}

Vi utledet denne likheten ved å starte med den deriverte av et produkt av $u$ og $v$:

\begin{align} (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \end{align}

Vi integrerte så hver side av likheten. Siden vi har den deriverte av $u\cdot v$ på venstresiden, får vi tilbake produktet:

\begin{align} \int (u \cdot v)' dx &= \int u' \cdot v \ dx + \int u \cdot v' \ dx \\ u \cdot v &= \int u' \cdot v \ dx + \int u \cdot v' \ dx \end{align}

Problemet ligger i integralet vi gjorde på venstre side. Siden vi faktisk har utført et ubestemt integral, måtte vi teknisk sett lagt til en ubestemt konstant, $C$:

\begin{align} u \cdot v + C = \int u' \cdot v \ dx + \int u \cdot v' \ dx \end{align}

Etter en omskriving, får vi den kjente likheten, bare med en ekstra konstant:

\begin{align} \int u \cdot v' \ dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \ dx + C \end{align}

Innsatt i den opprinnelige utregningen vår, får vi:

\begin{align} \int \frac{1}{x} dx &= x \cdot \frac{1}{x} - \int x \cdot -\frac{1}{x^2} dx + C\\ \int \frac{1}{x} dx &= 1 + \int \frac{1}{x} dx + C\\ \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x} dx &= 1 + C\\ 0 &= 1 + C \\ \end{align}

Dette viser bare at konstanten $C$ i dette tilfelle må være lik $-1$, og vi har en uproblematisk likhet.