Integrasjon ved substitusjon

---

Integrasjon ved substitusjon er en integrasjonsteknikk hvor man bytter ut integrasjonsvariabelen med en annen. Ta f.eks. integralet

\begin{align} \int 2x e^{x^2} dx. \end{align}

Dette integralet virker i første omgang som en god kandidat for delvis integrasjon, hvor vi velger $u=2x$ og $v'=e^{x^2}$, men da møter vi fort på problemer. Funksjonen $e^{x^2}$ har nemlig ingen antiderivert om kan uttrykkes ved tradisjonelle funksjonsutrtykk. Vi kan derimot gjøre et variabelskifte. Dersom vi gjør substitusjonen

\begin{align} u = x^2 \end{align}

får vi

\begin{align} \int 2x e^u dx. \end{align}

Dette virker i første omgang ikke som en forbedring. Vi har fortsatt $2x$ og $dx$, men la oss derivere substitusjonsuttrykket med hensyn på $x$.

\begin{align} \frac{du}{dx} = 2x \end{align}

Dersom vi gjør en liten omskriving, får vi:

\begin{align} du = 2x dx \end{align}

Dette er et eksempel på hvor Leibniz-notasjonen for derivasjon er veldig nyttig. Vi behandler infinitesimalene $du$ og $dx$ som tall vi kan behandle som vanlig. Vi kan utnytte likheten over til å forenkle integralet vårt:

\begin{align} \int 2x e^u dx = \int e^u \cdot 2xdx = \int e^u du. \end{align}

Vi har nå gjort om integralet fra å være et integral med hensyn på $x$ til å bli et integral med hensyn på $u$. Vi ser også at dette er et trivielt integral:

\begin{align} \int e^u du = e^u + C = \underline{\underline{e^{x^2} + C}}. \end{align}

Etter at vi integrerte, satt vi bare inn igjen for $u$ for å komme tilbake til et uttrykk som inneholder $x$.

Generelt: ubestemt integral

Substitusjonsmetoden kan brukes i mange sammenhenger, men mest vanlig er dersom vi har en sammensatt funksjon $f(g(x))$, med kjerne $u=g(x)$, hvor den deriverte av kjernen står utenfor den sammensatte funksjonen:

\begin{align} f(g(x)) \cdot g'(x) \end{align} Vi får da: \begin{align} \int f(g(x)) \cdot g'(x) dx = \int f(u) du \end{align} hvor $u = g(x)$.