Delvis integrasjon

Utledning

Anta at vi har to funksjoner $u=u(x)$ og $v=v(x)$ og et funksjonsuttrykk hvor disse er multiplisert sammen: \begin{align} f(x) = u(x) \cdot v(x) = u \cdot v \end{align} Vi kan derivere dette funksjonsuttrykket ved å bruke produktregelen: \begin{align} f'(x) &= \frac{d}{dx}\left[u(x) \cdot v(x) \right] = (u\cdot v)' \\ &= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = u' \cdot v + u\cdot v' \end{align} Vi har nå følgende likhet: \begin{align} (u\cdot v)' = u' \cdot v + u\cdot v' \end{align} Dersom vi integrerer hver side av likheten får vi: \begin{align} \int (u\cdot v)' dx &= \int (u' \cdot v ) dx +\int (u\cdot v') dx \\ u\cdot v &= \int (u' \cdot v ) dx +\int (u\cdot v') dx \\ \end{align} Dersom vi skriver om uttrykket, får vi sammenhengen vi kaller for delvis integrasjon: \begin{align} \int (u \cdot v' ) dx &= u\cdot v - \int (u'\cdot v) dx \end{align} Dette er en sammenheng vi kan utnytte i integralregning ved å være kreativet i vårt valg av $v$ og $u'$.

Eksempel 1

Regn ut $\int x e^x dx$.

Løsning

Dersom vi velger $u=x$ og $v' = e^x$, får vi $u' = 1$ og $v=e^x$ og: \begin{align} \int x e^x dx &= x e^x - \int 1 \cdot e^x dx \\ &= \underline{\underline{x e^x - e^x + C}} \end{align} Vi kan sjekke at dette er riktig ved å derivere resultatet: \begin{align} \frac{d}{dx}[x e^x - e^x + C] &= \frac{d}{dx}(x e^x) - \frac{d}{dx} e^x + \frac{d}{dx} C \\ &= 1\cdot e^x + x e^x - e^x + 0 = x e^x \end{align}