Eksempel 2

Vis at tallfølgen gitt ved

\begin{align*} a_1 = 1 \textrm{, } \ \ a_{n+1} = \sqrt{6+a_n} \textrm{, } \ \ n=1,2,3,... \end{align*}

konvergerer og regn ut hva den konvergerer mot.

---

---

Løsning

Før vi prøver å bevise at følgen konvergerer, la oss først prøve å finne hva den i såfall konvergerer mot. Vi antar at følgen konvergerer mot tallet $L$, dvs. vi antar at

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}a_n = L \end{align*}

Hvis vi antar at $\{a_n\}$ konvergerer mot $L$, så må også $\{ a_{n+1}\}$ konvergere mot samme tallet. Dette er fordi disse er i praksis samme følge, bare ved at $\{ a_{n+1}\}$ starter på det som er element nr. 2 i følgen $\{a_n\}$. Altså:

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}a_n = L \implies \lim_{n\to\infty}a_{n+1} = L \end{align*}

Dersom vi lar $n\to\infty$ på begge sider av likheten $a_{n+1} = \sqrt{6+a_n}$ får vi:

\begin{align*} L = \lim_{n\to\infty}a_{n+1} =\lim_{n\to\infty} \sqrt{6+a_n} &= \sqrt{6+ \lim_{n\to\infty} a_n} = \sqrt{6+L}{} \\ L^2 &= 6+L \\ L^2 - L - 6 &= 0 \\ (L-3)(L+2) &= 0 \end{align*}

Vi ser at likningen er oppfyllt for $L = 3$ og $L = -2$. Siden vi i første linje over hadde at $L = \sqrt{6+L}$ er kun $L=3$ en gyldig løsning (siden vi har et rottegn, må vi ende opp med et positivt tall). Dette kan vi også dobbeltsjekke ved å sette inn for $L$ i likheten over. Setter vi inn noen verdier for følgen, tyder det på at vi har regnet riktig:

\begin{align*} a_1 &= 1 \\ a_2 &= \sqrt{6+a_1} = \sqrt{6+1} \approx 2.65 \\ a_3 &= \sqrt{6+a_2} = \sqrt{6+2.65} \approx 2.65 \\ a_4 &= \sqrt{6+a_3} = \sqrt{6+2.94} \approx 2.99 \\ \end{align*}

Det virker som at følgen konvergerer mot tallet 3, slik vi regnet oss frem til.

Bevise konvergens

For å regne ut grenseverdien, antok vi at følgen konvergerte. Dette kan vi også bevise ved å bruke teoremet fra forrige seksjon, altså at en monoton og begrenset tallfølge alltid vil konvergerer. Vi skal vise at den er voksende og begrenset ovenfra. Når den er voksende, er den også begrenset nedenfra siden da ikke kan få lavere verdi enn det første elementet i følgen. For å bevise monotonitet og begrensenhet, skal vi ta i bruk induksjonsmetoden.

Bevis ved induksjon

La $P_n$ være en påstand som avhenger av et naturlig tall $n$. Anta at vi kan vise at:

1. $P_1$ er sann.
2. Dersom det finnes et naturlig tall $k$ slik at $P_k$ er sann, så er $P_{k+1}$ også sann.

Da er $P_n$ sann for alle $n$.

Bruk av induksjonsmetoden

Beviset fungerer ved at vi først beviser at vår påstand er sann for den første $n$'en i følgen, f.eks. $n=1$. Etter det beviser vi at dersom vi kan anta at påstanden er sann for et naturlig tall $k$, så gjelder det også for det neste leddet i følgen, altså $k+1$. Siden vi har bevist at følgen er sann for $n=1$, sier det siste at den også er sann for $n=2$ siden dette er det neste leddet i følgen. Er påstanden sann for $n=2$, så er den også sann for $n=3$, siden dette er det neste i følgen. Og slik kan vi fortsette og vi kan påstå at den gjelder for $n=4, 5, 6, 7...$, altså vi kan påstå at den gjelder for alle $n$ i følgen vår.

Bevise begrensethet

Vi har vist at hvis følgen skulle konvergere, så konvergerer den mot tallet 3. Dette tallet vil da være en øvre grense for elementene i følgen. Vi bruker induksjonsbevismetoden til å bevise at følgen aldri blir større enn 3, som da viser at den er begrenset ovenfra. Vår påstand er med andre ord

\begin{align*} a_n < 3 \ \textrm{ for alle } \ n \end{align*}

Når vi sier "alle $n$" er det her underforstått at vi mener alle $n$ hvor følgen vår gjelder, altså $n\geq 1$.

For $n$=1

For $n=1$ har vi $a_1 = 1$, siden dette var oppgitt i oppgaven. Dermed har vi bevist at $a_1 < 3$.

For $n=k+1$ gitt at det gjelder for $n=k$

La oss anta at det finnes et tall $k$ slik at $a_k < 3$. Vi har da

\begin{align*} a_{k+1} = \sqrt{6 + a_k} < \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3 \end{align*}

Ulikheten får vi fordi når $a_k < 3$, så vil $\sqrt{6+a_k} < \sqrt{6+3}$. Til venstre for ulikheten har vi noe som er lik $a_{k+1}$, mens til høyre for ulikheten har vi noe som er lik 3. Vi har da

\begin{align*} a_{k+1} < 3 \end{align*}

Som var det vi skulle vise. Tallfølgen er mindre enn 3 for alle $n$ og dermed begrenset ovenfra.

Bevise monotonitet

Vi skal bevise at tallfølgen er voksende, altså at $a_{n+1} > a_n$ for alle $n$. Vi bruker igjen induksjonsmetoden.

For $n$=1

Vi har at $a_1 = 1$. Dette gir oss $a_2 = \sqrt{6+a_1} = \sqrt{6+1} \approx 2.65$. Vi ser her at $a_2 > a_1$ og vi har dermed vist at påstanden vår holder for $n=1$.

For $n=k+1$ gitt at det gjelder for $n=k$

Anta at det finnes en $k$ slik at $a_{k+1} > a_k$. Vi skal undersøke om det da også gjelder for de neste leddene i følgen, altså om $a_{k+2} > a_{k+1}$. Vi setter inn:

\begin{align*} a_{k+2} = \sqrt{6 + a_{k+1}} > \sqrt{6 + a_k} = a_{k+1} \end{align*}

Ulikheten kommer av at vi antar at $a_{k+1} > a_k$, som gir oss $\sqrt{6+a_{k+1}} > \sqrt{6 + a_k}$. På venstre side av ulikheten har vi noe som er lik $a_{k+2}$, mens på venstre side noe som er lik $a_{k+1}$. Vi har dermed at \begin{align*} a_{k+2} > a_{k+1} \end{align*} når $a_{k+1} > a_{k}$, som var det vi skulle vise. Følgen er voksende for alle $n$.

Siden følgen er voksende for alle $n$, vil den også være begrenset nedenfra. Vi får ikke lavere verdi enn det første elementet i følgen. Siden vi har bevist at følgen er begrenset ovenfra, har vi vist at den generelt er begrenset. Sammen med monotonitetsbeviset, har vi bevist at følgen konvergerer fra teoremet i forrige seksjon.