Rekker

---

Introduksjon

Anta at vi har en tallfølge:

\begin{align*} \{a_n\} = a_1, a_2, a_3,... \end{align*}

En rekke er definert som summen av alle leddene i en tallfølge:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... \end{align*}

Vi kan skrive en rekke på kompakt form ved å bruke sigma-notasjonen, $\sum$. I eksemplet over sier sigma-notasjonen at vi skal legge sammen leddene til en følge med allment ledd $a_n$ der $n$ starter på 1 og går mot uendelig. Slik rekken står over, sier vi at det er en uendelig rekke, eller kort sagt bare en rekke. Vi kunne også laget en  endelig rekke ved erstatte $\infty$ med et tall. F.eks.

\begin{align*} \sum_{n=2}^{5}a_n = a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \end{align*}

Her har vi spesifisert at rekken starter på $n=2$ og slutter på $n=5$.

Divergente rekker

Vi tar for oss følgende rekke:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} n = 1+2+3+4+... \end{align*}

Etterhvert som vi legger til flere og flere ledd, blir summen bare større og større, og det finnes ingen øvre grense for verdien til summen. Summen går mot uendelig. En rekke for summen går mot $\pm \infty$ sier vi divergerer.

Konvergente rekker

Vi tar for oss følgende rekke:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... \end{align*}

Selv om vi hele tiden legger til flere og flere positive tall, vil ikke summen gå mot uendelig. Faktisk går summen mot tallet 1:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1 \end{align*}

Det kan virke merkelig at en sum av uendelig mange, positive tall kan bli noe annet enn uendelig, men det kan vi bevise. La oss kalle $S_N$ for summen av de $N$ første leddene i rekken.

\begin{align*} S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n \end{align*}

Vi kaller $S_N$ for delsummen av rekkens faktiske sum, $S$. I vårt eksempel har vi $a_n = \dfrac{1}{2^n}$ som gir oss:

\begin{align*} S_1 &= \frac{1}{2} \\ S_2 &= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \\ S_3 &= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} +\frac{1}{8}\\ S_N &= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} +\frac{1}{8} +...+\frac{1}{2^N} \\ \end{align*}

For å undersøke summen til rekken, skal vi skrive om uttrykkene for delsummene. For $S_1$ ser vi at

\begin{align*} S_1 = \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} \end{align*}

og tilsvarende for $S_2$

\begin{align*} S_2 &= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) \\ &= \frac{1}{2} +\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 1-\frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{2^2} \end{align*}

Vi har her brukt trikset å legge til noe som blir 0, altså $\frac{1}{4}-\frac{1}{4}$. Vi bruker samme trikset for $S_3$:

\begin{align*} S_3 &= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} +\left(\frac{1}{8} - \frac{1}{8}\right) \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = 1 - \frac{1}{8} = 1-\frac{1}{2^3} \end{align*}

Vi ser her en tendens. Det generelle uttrykket for $S_N$ kan dermed omskrives til:

\begin{align*} S_N &= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} +\frac{1}{8} +...+\frac{1}{2^N} = 1- \frac{1}{2^N}\\ \end{align*}

Summen til en rekke er definert som grenseverdien av delsummen når antall ledd går mot uendelig:

\begin{align*} S = \lim_{N\to\infty}S_N = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}a_n \end{align*}

I vårt eksempel får vi:

\begin{align*} S = \lim_{N\to\infty}S_N = \lim_{N\to\infty}\left(1- \frac{1}{2^N}\right) = 1 - 0 = 1 \end{align*}

Summen av rekken er med andre ord 1. Siden rekken går mot et bestemt tall, sier vi at rekken konvergerer.

Presis definisjon av konvergens og divergens

På lik linje ved at vi trengte en presis definisjon for når en tallfølge konvergerer, trenger vi også en presis definisjon for når en rekke konvergerer. Ta f.eks. rekken:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n = -1+1-1+1-1+1-1+... \end{align*}

Det er opplagt at rekken ikke går mot uendelig, men det heller ikke mot et bestemt tall. Vi trenger en tydelig definisjon for konvergens. Definisjonen tar for seg delsummene $S_N$, som vi kan sette opp som en uendelig følge:

\begin{align*} \{ S_N\} = S_1, S_2, S_3,S_4,... \end{align*}

Siden vi har en klar definisjon for konvergens av følger, skal vi bruke denne til å definere konvergens av rekker. Kort sagt sier vi at rekken konvergerer dersom følgen av delsummer konvergerer:

Definisjon

La $S_N = \sum_{n=1}^{N}a_n$. Dersom $\{S_N\}$ konvergerer og $\displaystyle \lim_{N\to\infty}S_N = S$, sier vi at rekken $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ konvergerer og har sum $S$. Vi skriver da $\sum_{n=1}^{\infty}a_n = S$. Dersom $\{S_N\}$ divergerer, sier vi at rekken $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ divergerer.

Utifra denne definisjonen vil rekken $-1+1-1+1-1+1-1+...$ divergere siden delsummene ikke konvergerer. De veksler bare mellom $-1$ og $0$.