Aritmetiske rekker

---

Introduksjon

Det går en historie om matematikeren Carl Friedrich Gauss at fikk i oppgave av læreren sin på grunnskolen å legge sammen de 100 første heltall. De andre elevene i klassen begynte å legge sammen 1+2+3+4+... osv., men Gauss ble bare sittende. Han var allerede ferdig. Læreren trudde ikke på dette og spurte hva svaret var. Gauss svarte selvsikkert "5010!", som så klart var riktig svar. Da læreren spurte hvordan han klarte dette så fort, svarte han at han tok det første tallet i rekken, 1, la det sammen med det siste tallet, 100, og multipliserte dette med halvparten av antall ledd som ble lagt sammen, altså:

\begin{align*} 1+2+3+4+5+...+100 = (1+100)\frac{100}{2} = 5050 \end{align*}

Dette er en formel vi kan bruke for å finne summen av en bestemt type endelig rekker som vi kaller for aritmetiske rekker.

Definisjon

En aritmetisk rekke er en rekke hvor hvert ledd øker med et fast tall, $d$, som vi kaller for differansen. Anta at tallet $a_1$ angir første tall i rekken. En aritmetisk rekke besteående av $n$ ledd kan da skrives som:

\begin{align*} &a_1 + (a_1+d) + (a_1+2d) + (a_1+3d) +... +(a_1+(n-1)d)\\ &= \sum_{i=1}^n (a_1 + (i-1)d) \end{align*}

Summen til en slik rekke, $S_n$, er gitt ved formelen

\begin{align*} S_n &= (a_1 + a_n) \frac{n}{2} \end{align*}

I eksemplet til Gauss er $a_1 = 1$ og $d=1$.

Bevis for summeformelen

Vi ser på en endelig aritmetisk rekke bestående av $n$ ledd. Anta at rekken har sum $S_n$:

\begin{align*} S_n &= a_1 + (a_1+d) + (a_1+2d) + (a_1+3d) +... +(a_1+(n-1)d) \end{align*}

Dersom vi kaller det siste leddet i rekken for $a_n$, kan vi skrive om hvert ledd med hensyn på $a_n$. Hvert ledd bakover i rekken vil være $d$ mindre enn det forrige leddet. F.eks. så vil $a_{n-1} = a_n - d$, $a_{n-2} = a_n - 2d$ helt til vi kommer til det første leddet $a_1 = a_n - d(n-1))$. At det første leddet blir slik, kan vi lett se ved å skrive om uttrykket for det siste leddet i rekken:

\begin{align*} a_n = a_1 + d(n-1)) \end{align*}

som med en omskriving gir oss

\begin{align*} a_1 = a_n - d(n-1)) \end{align*}

Vi kan dermed sette opp samme rekke skrevet på denne nye formen. Dersom vi snur rekkefølgen på rekken slik at $a_n$ kommer først, får vi:

\begin{align*} S_n &= a_n + (a_n-d) + (a_n-2d) + (a_n-3d) +... +(a_n-(n-1)) \end{align*}

Legger vi dette sammen med den samme rekken, bare skrevet på den første formen, får vi:

\begin{align*} S_n +S_n &= a_1 + (a_1+d) + (a_1+2d) + (a_1+3d) +... +(a_1+(n-1)d) \\ &+ a_n + (a_n-d) + (a_n-2d) + (a_n-3d) +... +(a_n-(n-1)d) \end{align*}

Sammenlikner vi hvert ledd i de to ulike formene vi skrev $S_n$ på, ser vi at $d$'ene alltid vil nulle hverandre ut ($d$ mot $-d$, $2d$ mot $-2d$ osv.) Vi står da igjen med

\begin{align*} S_n +S_n &= a_1 + a_1 + a_1 + a_1 +... +a_1 \\ &+ a_n + a_n + a_n + a_n +... +a_n \end{align*}

Siden vi har $n$ ledd i rekke, får vi:

\begin{align*} S_n +S_n &= n a_1 + n a_n \\ 2S_n &= n(a_1 + a_n) \\ S_n &= (a_1 + a_n) \frac{n}{2} \end{align*}

som var formelen Gauss brukte.