Tallfølger og rekker

I dette kompendiumet gir vi en introduksjon til tallfølger og rekker.

Følger

Videotid: ca. 63 min.

  1. Introduksjon til tallfølger
  2. Konvergente og divergente tallfølger
  3. Eksempel 1
  4. Monotone tallfølger
  5. Eksempel 2 og bevis ved induksjon

Rekker

Videotid: ca. 67 min.

  1. Introduksjon til rekker
  2. Aritmetiske rekker
  3. Aritmetiske rekker - eksempel 1
  4. Aritmetiske rekker - eksempel 2
  5. Geometriske rekker
  6. Geometriske rekker - eksempel 1
  7. Geometriske rekker - eksempel 2
  8. Geometriske rekker - eksempel 3

Forelesning

Under er listen av oppgaver vi skal fokusere på i forelesningene. Husk å levere det obligatoriske selvevalueringsskjemaet før forelesning (se canvas).

Forelesningen

Sammendrag

Følger

En tallfølge er en liste med tall i en bestemt rekkefølge. Vi skriver den som:

\begin{align*} \{ a_n\}_{n=1}^{\infty} = \{a_n\} = a_1, a_2, a_3, ... \end{align*}

hvor $a_n$ kalles det allmenne leddet.

Alternerende følger

En alternerende følge er en følge som veksler mellom positive og negative ledd.

Konvergens og divergens

Tallfølgen $\{a_n\}$ konvergerer mot tallet $L$ dersom det for ethvert reelt tall $\epsilon > 0$, finnes et korresponderende naturlig tall $N$ slik at $|a_n-L|<\epsilon$ for alle $n\geq N$.

Hvis dette er tilfelle, skriver vi

\begin{align*} \lim_{n\to \infty}a_n = L \end{align*}

En tallfølge som ikke tilfredstiller denne definisjonen, sier vi at divergerer.

Klassifisering av tallføgler

Konvergensteorem

En monoton, begrenset tallfølge vil alltid konvergere.

Regneregler for tallfølger

La $\{a_n\}$ og $\{b_n\}$ være to konvergente tallfølger og la $c$ være en konstant. Vi har da:

  1. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) = \lim_{n\to\infty}a_n + \lim_{n\to\infty}b_n$
  2. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n) = \lim_{n\to\infty}a_n - \lim_{n\to\infty}b_n$
  3. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(c a_n) = c \lim_{n\to\infty}(a_n)$
  4. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n}{\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n}$ hvis $\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n \neq 0$
  5. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n b_n) = \lim_{n\to\infty}a_n \cdot \lim_{n\to\infty}b_n$

Teorem

Dersom $\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n| = 0$, så er $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0$.

Bevis ved induksjon

La $P_n$ være en påstand som avhenger av et naturlig tall $n$. Anta at vi kan vise at:

  1. $P_1$ er sann.
  2. Dersom det finnes et naturlig tall $k$ slik at $P_k$ er sann, så er $P_{k+1}$ også sann.

Da er $P_n$ sann for alle $n$.

Rekker

En rekke er definert som summen av alle leddene i en tallfølge:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... \end{align*}

En endelig rekke er en rekke med et endelig antall ledd:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{N}a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_N \end{align*}

Konvergens av rekker

La $S_N = \sum_{n=1}^{N}a_n$. Dersom $\{S_N\}$ konvergerer og $\displaystyle \lim_{N\to\infty}S_N = S$, sier vi at rekken $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ konvergerer og har sum $S$. Vi skriver da $\sum_{n=1}^{\infty}a_n = S$. Dersom $\{S_N\}$ divergerer, sier vi at rekken $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ divergerer.

Aritmetiske rekker

En aritmetisk rekke er en rekke hvor hvert ledd øker med et fast tall, $d$, som vi kaller for differansen. Anta at tallet $a_1$ angir første tall i rekken. En aritmetisk rekke besteående av $n$ ledd kan da skrives som:

\begin{align*} &a_1 + (a_1+d) + (a_1+2d) + (a_1+3d) +... +(a_1+(n-1))\\ &= \sum_{i=1}^n (a_1 + (i-1)d) \end{align*}

Summen til en slik rekke, $S_n$, er gitt ved formelen

\begin{align*} S_n &= (a_1 + a_n) \frac{n}{2} \end{align*}

Geometriske rekker

En geometrisk rekke er en rekke hvor hvert ledd er lik det forrige leddet multiplisert med en konstant, $r$:

\begin{align*} a + ar + ar^2 + ar^3 + ... = \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} \end{align*}

Summen av de $N$ første ledd i en geometrisk rekke er gitt ved

\begin{align*} S_N = \sum_{n=1}^{N} a r^{n-1} = \frac{a(1-r^N)}{1-r} \end{align*}

Summen av en uendelig geometrisk rekke er gitt ved

\begin{align*} S = \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r} \ \ \ \textrm{ for } |r| < 1. \end{align*}

Rekken divergerer for alle andre verdier av $r$.

Regneregler for rekker

La $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ og $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n$ være to konvergente rekker, og la $c$ våre en konstant. Da vil også $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_n-b_n)$ og $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(c a_n)$ konvergere og vi har: