Konvergens og divergens av følger

---

Hva er konvergens og divergens?

Figuren under viser leddene i tallfølgen:

\begin{align*} \left\{ \frac{n^2}{n^2+1}\right\} = \frac{1}{2}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10}, \frac{16}{17}, ... \end{align*}

Leddene i tallfølgen over kommer nærmere og nærmere tallet 1 etterhvert som $n$ øker. Vi sier da at tallfølgen konvergerer mot tallet 1. Vi kan også formulere dette som en grenseverdi:

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}a_n = 1 \end{align*}

Sammenlikner vi denne følgen med følgen:

\begin{align*} \{ n^2\} = 1, 4, 9, 16, ... \end{align*}

ser vi at dette er en følge som ikke har noen øvre grense. Den fortsetter bare mot uendelig. Det allmenne leddet går dermed ikke mot noen bestemt verdi og vi sier da at tallfølgen divergerer.

Presis definisjon av konvergens

I noen tilfeller kan det være mer utydelig om vi skal si at tallfølgen konvergerer eller divergerer. Et eksempel på dette er tallfølgen:

\begin{align*} \{(-1)^n\} = -1, 1, -1, 1,... \end{align*}

Tallfølgen går ikke mot uendelig, men den nærmer seg heller ikke et bestemt tall. Vi trenger en mer tydelig definisjon av konvergens for å avgjøre om denne konvergerer eller divergerer.

Definisjon

Tallfølgen $\{a_n\}$ konvergerer mot tallet $L$ dersom det for ethvert reelt tall $\epsilon > 0$, finnes et korresponderende naturlig tall $N$ slik at $|a_n-L|<\epsilon$ for alle $n\geq N$.

Hvis dette er tilfelle, skriver vi

\begin{align*} \lim_{n\to \infty}a_n = L \end{align*}

En tallfølge som ikke tilfredstiller denne definisjonen, sier vi at divergerer.

Tolkning av definisjonen

Definisjonen av konvergens for en tallfølge er identisk med hvordan vi ville definert grenseverdier for en kontinuerlig funksjon, altså $\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = L$. Definisjonen over sier at vi dersom $\{a_n\}$ konvergerer mot $L$, så skal leddene i tallfølgen kunne komme så nær $L$ som vi bare ønsker, kun ved å gjøre $n$ stor nok. Uttrykket $|a_n-L|$ angir avstanden fra leddene i tallfølgen til tallet $L$. Definisjonen sier at vi skal kunne velge en $\epsilon > 0$ slik at alle ledd fra og med $n=N$ ligger en avstand mindre enn $\epsilon$ fra tallet $L$. I figuren under kan du endre verdien for $\epsilon$. Den blå, vertikale linja viser da den minste verdien vi kan ha for $N$. Etterhvert som $\epsilon$ blir mindre, må $N$ bevege seg lengre og lengre ut på $n$-aksen for at alle ledd fra og med $a_N$ skal ligge innenfor de to grønne linjene (som angir en avstand $\epsilon$ fra $L$).

NB! Dersom $N$ ikke beveger seg borter i figuren over, prøv å laste inn nettsiden på nytt.