Eksempel

Regn ut grensene:

Oppgave a)

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}$

Oppgave b) (ca. 4:00)

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{2n^2-n-1}{5n^2+n-3}$

Oppgave c) (ca. 6:05)

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{(-1)^n}{n}$

---

---

Løsning

For å løse disse oppgavene, trenger vi noen regneregler for tallfølger:

Regneregler for tallfølger

La $\{a_n\}$ og $\{b_n\}$ være to konvergente tallfølger og la $c$ være en konstant. Vi har da:

1. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) = \lim_{n\to\infty}a_n + \lim_{n\to\infty}b_n$
2. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n) = \lim_{n\to\infty}a_n - \lim_{n\to\infty}b_n$
3. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(c a_n) = c \lim_{n\to\infty}(a_n)$
4. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n}{\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n}$ hvis $\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n \neq 0$
5. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n b_n) = \lim_{n\to\infty}a_n \cdot \lim_{n\to\infty}b_n$

Legg merke til at disse er identisk regler for grenseverdier for kontinuerlige funksjoner, $f(x)$.

Oppgave a)

Slik som rekken står virker det som at både nevner og teller vil gå mot uendelig når $n$ går mot uendelig. Vi starter derfor med å skrive om det allmenne leddet:

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} &= \lim_{n\to\infty}\frac{n}{(n+1)}\frac{\cdot\frac{1}{n}}{\cdot\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \\ &= \frac{\displaystyle \lim_{n\to\infty} 1}{\displaystyle \lim_{n\to\infty} 1 + \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}} = \frac{1}{1+0} = \underline{\underline{1}} \end{align*}

I overgangen fra først til andre linje brukte vi regel nr. 4 og nr. 1. Legg merke til at denne er identisk som den vi har brukt tidligere med grenseverdier for kontinuerlige variabler, $x$.

Oppgave b)

Vi har samme problem som i a) med at både teller og nevner ser ut til å gå mot uendelig når $n$ går mot uendelig. Vi starter med å skrive om uttrykket ved å multiplisere med $1/n^2$ i teller og nevner:

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\dfrac{2n^2-n-1}{5n^2+n-3} \cdot \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n\to\infty}\dfrac{2-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{5+\frac{1}{n}-\frac{3}{n^2}} \end{align*}

Vi bruker regel nr. 1, 3 og 4, og får:

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\dfrac{2-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{5+\frac{1}{n}-\frac{3}{n^2}} &= \frac{\displaystyle \lim_{n\to\infty} 2 - \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} - \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}}{\displaystyle \lim_{n\to\infty}5 + \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}-3\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}} = \frac{2-0-0}{5+0-0} \\ &= \underline{\underline{\frac{2}{5}}} \end{align*}

Oppgave c)

Vi trenger et nytt teorem før å løse denne:

Teorem

Dersom $\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n| = 0$, så vil $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0$.

I vår følge har vi $a_n = (-1)^n \dfrac{1}{n}$ som gir oss $|a_n| = \dfrac{1}{n}$. Vi ser her at $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n} = 0$, som betyr at også $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(-1)^n \dfrac{1}{n} = 0$.