Monotone og begrensede tallfølger

---

Klassifisering av tallfølger

Noen ganger kan det være en fordel å klassifisere ulike typer tallfølger. I tillegg til å skille mellom konvergente og divergente tallfølger, skal vi skille mellom voksende, avtagende og begrensede tallfølger.

Voksende tallfølger

En tallfølge er voksende dersom hvert ledd er større enn det forrige leddet. Dette kan vi skrive matematisk som $a_{n+1} > a_n$ for alle $n$. Figuren under viser tallfølgen $\{n^2\}$, et eksempel på en voksende tallfølge.

Avtagende tallfølger

En tallfølge er avtagende dersom hvert ledd er mindre enn det forrige leddet. Dette kan vi skrive matmeatisk som $a_{n+1} < a_n$ for alle $n$. Figuren under viser tallfølgen $\{5-e^{n/5}\}$, et eksempel på en avtagende tallfølge.

Dersom en tallfølge er enten voksende eller avtagende, sier vi at den er monoton.

Begrenset ovenfra

En tallfølge er begrenset ovenfra dersom det finnes en øvre grense for elementene i følgen. Matematisk kan vi skrive dette som at det må finnes et tall $M$ slik at $a_n \leq M$ for alle $n$. Figuren under viser tallfølgen $\{ \dfrac{3n}{n+1}\}$, et eksempel på en tallfølge som er begrenset ovenfra. Merk at denne tallfølgen også er voksende.

Begrenset nedenfra

En tallfølge er begrenset nedenfor dersom det finnes en nedre grense for elementene i følgen. Matematisk kan vi skrive dette som at det må finnes et $M$ slik at $a_n \geq M$ for alle $n$. Figuren under viser tallfølgen $\{ 1 + e^{-n/5}\}$, et eksempel på en tallfølge som er begrenset nedenfra. Merk at denne tallfølgen også er avtagende.

Dersom en tallfølge er både begrenset nedenfra og ovenfra, sier vi at den kort og godt er begrenset. Tallfølgene i de to forrige eksemplene er begge begrensede. Det første eksemplet vi så på er ikke begrenset ovenfra, men den er begrenset nedenfra. For eksempel nr. 2 er det motsatt; den er begrenset ovenfra men ikke nedenfor. Figuren under viser $\{\sin(n/2)\}$, et eksempel på en tallfølge som er begrenset, men ikke monoton.

Teorem

En monoton, begrenset tallfølge vil alltid konvergere.

Teoremet over viser et av poengene ved å klassifisere tallfølger. Dersom vi kan vise at en tallfølge er både monoton og begrenset, vet vi automatisk at dette er en tallfølge som konvergerer.