Tallfølger

---

Introduksjon

En tallfølge er en liste av tall i en bestemt rekkefølge, f.eks.

\begin{align*} 1,2,3,4 \end{align*}

Dersom en tallfølge består av et endelig sett med tall, kaller vi det for en endelig tallfølge. En tallfølge kan også bestå av uendelig mange tall, en uendelig tallfølge. For å spesifisere at tallfølgen består av uendelig mange tall, legger vi på $...$ etter det siste tallet vi skrev opp i følgen, f.eks.

\begin{align*} \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ... \end{align*}

Dette er bare en matematisk måte så skrive "osv". Mer generelt kan vi skrive en uendelig tallfølge som

\begin{align*} a_1, a_2, a_3, a_4, ... = \{a_n\} = \{a_n\}_{n=1}^{\infty} \end{align*}

Symbolet $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ viser at vi skal la $n$ starte på 1 og øke mot uendelig. Hadde vi skrevet $\{a_n\}_{n=2}^{4}$, hadde vi hatt en endelig følge hvor $n$ starter på 2 og slutter på 4. Dersom vi ikke spesifiserer øvre og nedre grense, er det underforstått at vi har en uendelig følge som starter på 1.

Vi kaller $a_n$ for det allmenne leddet. Dette er en generalisering av leddene i tallfølgen. Når vi skriver ut tallfølgen $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$, setter vi først inn $n=1$ i første ledd, $n=2$ i andre ledd, osv. Fra forrige eksempel har vi f.eks.:

\begin{align*} \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ... = \left\{\dfrac{n}{n+1}\right\} \end{align*}

Eksempel 1

Skriv ut de første leddene i $\{a_n\} = \left\{\dfrac{n+1}{n^2}\right\}$.

Løsning

\begin{align*} \left\{\frac{n+1}{n^2}\right\} &= \frac{1+1}{1^2}, \frac{2+1}{2^2}, \frac{3+1}{3^2},... \\ &= 2, \frac{3}{4}, \frac{4}{9}, ... \end{align*}

Eksempel 2

Skriv ut de første leddene i $\{a_n\} = \left\{\dfrac{1}{2^n}\right\}$.

Løsning

\begin{align*} \left\{\frac{1}{2^n}\right\} &= \frac{1}{2^1}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3},\frac{1}{2^4} ... \\ &= \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, ... \end{align*}

Eksempel 3

Skriv ut de første leddene i $\{a_n\} = { (-1)^n n^2}$

Løsning

\begin{align*} { (-1)^n n^2} &= (-1)^1 1^2, (-1)^2 2^2, (-1)^3 3^2, (-1)^4 4^2, ... \\ &= -1, 4, -9, 16, ... \end{align*}

Leddet (-1) vil bli lik 1 når parantesen opphøyes i et partall og -1 når det opphøyes i et oddetall. Vi får da at følgen veksler (altererer) mellom å ha positive og negative verdier. Vi kaller derfor slike følger for en alternerende følge. Dersom vi ønsker å bytte om fortegnene i følgen, kan vi bare erstatte $(-1)^n$ med enten $(-1)^{n+1}$ eller $(-1)^{n-1}$:

\begin{align*} { (-1)^{n+1} n^2} &= (-1)^2 1^2, (-1)^3 \cdot 2^2, (-1)^4 \cdot 3^2, (-1)^5 \cdot 4^2, ... \\ &= 1, -4, 9, -16, ... \end{align*}

Rekursive tallfølger

En tallfølge kan også gis rekursivt, altså der leddene avhenger av hverandre. Et eksempel på dette er Fibonacci-følgen. Her definerer vi de to første ledd som 1 og alle videre ledd som summen av de to forgående ledd:

\begin{align*} a_1 &= 1, a_2 = 1 \\ a_n &= a_{n-1} + a_{n-2} \ \ \textrm { , } n \geq 3 \end{align*}

Utskrevet blir følgen:

\begin{align*} 1,1,2,3,5,8,13,21,... \end{align*}

Fibonacci-følgen finner man flere stede i naturen, f.eks. i forgreiner i et tre.