Geometriske rekker

---

Introduksjon

En geometrisk rekke er en rekke hvor hvert ledd er lik det forrige leddet multiplisert med en konstant, $r$:

\begin{align*} a + ar + ar^2 + ar^3 + ... = \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} \end{align*}

Vi kaller konstanten $r$ for kvotienten.

Summen av en geometrisk rekke

For å regne ut summen av en uendelig geometrisk rekke starter vi med å se på summen av de $N$ første ledd, $S_N$:

\begin{align*} S_N = a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + a r^{N-1} \end{align*}

Dersom vi multipliserer delsummen med kvotienten $r$, får vi:

\begin{align*} r\cdot S_N = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ... + a r^{N} \end{align*}

Det neste steget i å finne summen til rekken, er å legge sammen $S_N$ med $rS_N$:

\begin{align*} S_N - r \cdot S_N &= a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + a r^{N-1} \\ &- (ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ... + a r^{N}) \end{align*}

Venstre side av likheten kan forenkles til $(1-r)S_N$ ved å faktorisere ut $S_N$. På høyre side vil de fleste ledd forsvinne ($ar$ fra $S_N$ går mot $-ar$ fra $-rS_N$, $ar^2$ går mot $-ar^2$ osv.) De eneste leddene som ikke forsvinner er $a$ fra $S_N$ og $-ar^{N}$ fra $-rS_N$. Vi står da igjen med:

\begin{align*} (1-r) S_N &= a - a r^{N} \\ S_N &= \frac{a}{1-r} - \frac{ar^{N}}{1-r} \end{align*}

Dersom vi har en endelig geometrisk rekke med $N$ led, vi summen av en slik rekke være gitt med uttrykket over. Summen av en uendelig geometrisk rekke, $S$, får vi ved å la $N\to\infty$:

\begin{align*} S = \lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \left(\frac{a}{1-r} - \frac{ar^{N}}{1-r}\right) = \frac{a}{1-r} -\lim_{N\to\infty}\left(\frac{ar^{N}}{1-r}\right) \end{align*}

Dersom $r > 1$, vil $r^{N}$ gå mot uendelig når $N$ går mot uendelig, og vi har at rekken divergerer. Rekken divergerer også for $r < -1$ for da vil $r^{N}$ veksle mellom et veldig stort positivt tall og et veldig stort negativt tall etterhvert som $N$ øker. Vi kan heller ikke ha $r=1$ for da blir nevneren i brøkene lik null, noe som ikke går. Rekken divergerer også for $r=-1$ siden summen av rekken da vil veksle mellom $a$ og 0. For $ -1 < r < 1 $, som vi kan skrive som $|r < 1|$, derimot, går $r^{N}$ mot null, og grenseleddet forsvinner i utrykket over. Vi har da:

\begin{align*} S = \frac{a}{1-r} -\lim_{N\to\infty}\left(\frac{ar^{N}}{1-r}\right) = \frac{a}{1-r} \ \ \ \textrm{ for } |r| < 1 \end{align*}

Summen til en geometrisk rekke

Endelig rekke

Summen av de $N$ første ledd i en geometrisk rekke er gitt ved \begin{align*} S_N = \sum_{n=1}^{N} a r^{n-1} = \frac{a(1-r^N)}{1-r} \end{align*}

Uendelig rekke

Summen av en uendelig geometrisk rekke er gitt ved

\begin{align*} S = \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r} \ \ \ \textrm{ for } |r| < 1. \end{align*}

Rekken divergerer for alle andre verdier av $r$.