Geometriske rekker - eksempel 1

Finn summen av rekkene:

Oppgave a)

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$

Oppgave b) (ca. 2.35)

$\displaystyle \pi - e + \frac{e^2}{\pi} - \frac{e^3}{\pi^2} + ...$

---

---

Løsning

Oppgave a)

Vi starter med å skrive om uttrykket for å få det til å likne mer på det generelle uttrykket for en geometrisk rekke, $\sum_{n=1}^{\infty}a r^n$. Dette vil gjøre det lettere å finne verdien til $a$ og $r$:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \end{align*}

I det siste steget faktoriserte vi ut en $\frac{1}{2}$. Sammenlikner vi dette med det generelle uttrykket, ser vi at $a=\frac{1}{2}$ og $r=\frac{1}{2}$. Siden $|r|< 1$ kan vi konkludere med at rekken konvergerer og har sum:

\begin{align*} S = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \underline{\underline{1}} \end{align*}

Oppgave b)

Vi undersøker først om dette er en geometrisk rekke. En geometrisk rekke er en rekke hvor hvert ledd multipliseres med kvotienten $r$:

\begin{align*} a + ar + ar^2 + ar^3 + ... \end{align*}

Tar vi et ledd og deler på leddet som kom før, vil vi da alltid stå igjen kvotienten $r$; $\frac{ar}{a} = r$, $\frac{ar^2}{ar} = r$, $\frac{ar^3}{ar^2} = r$, osv. Gjør vi det samme på vår rekke, får vi: $\frac{-e}{\pi}$, $\frac{e^2/\pi}{-e} = \frac{-e}{\pi}$, $\frac{-e^3/\pi^3}{e^2/\pi} = \frac{-e}{\pi}$, osv. Dersom rekken er geometrisk, er det tydelig at vi har $r=-\frac{e}{\pi}$. Siden $a$ er det første leddet i rekken, får vi $a=\pi$. Vi kan sjekke at dette stemmer ved å sette opp et uttrykk for den geometriske rekken og sjekke at leddene blir det samme som vår rekke:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1} &= \sum_{n=1}^{\infty} \pi\cdot\left(\frac{-e}{\pi}\right)^{n-1} \\ &= \pi \cdot \left(\frac{-e}{\pi}\right)^0 + \pi \cdot \left(\frac{-e}{\pi}\right)^1 + \pi \cdot \left(\frac{-e}{\pi}\right)^2 + \pi \cdot \left(\frac{-e}{\pi}\right)^3 +...\\ &= \pi - e + \frac{e^2}{\pi} - \frac{e^3}{\pi^2}+... \end{align*}

Dette ser ut til å stemme. Siden $-e/\pi \approx -0.87$, har vi at $|r|< 1$ og vi kan konkludere at rekken konvergerer med sum:

\begin{align*} S = \frac{a}{1-r} = \frac{\pi}{1-\left(\frac{-e}{\pi}\right)} = \frac{\pi}{1+\frac{e}{\pi}} = \underline{\underline{\frac{\pi^2}{\pi + e}}} \end{align*}