Geometriske rekker - eksempel 2

Oppgave a)

Finn summen av rekken:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+2^{n+1}}{3^n}$

Oppgave b) (ca. 4.36)

Finn for hvilke verdier av $x$ rekken konvergerer og hva summen da er:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-5)^n x^n$

---

---

Løsning

Oppgave a)

Det allmenne leddet i rekken består av et mer komplisert uttrykk enn vi har sett tidligere. For å vurdere hva vi kan gjøre med dette uttrykket, trenger vi noen regneregler:

Regneregler for rekker

La $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ og $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n$ være to konvergente rekker, og la $c$ våre en konstant. Da vil også $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_n-b_n)$ og $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(c a_n)$ konvergere og vi har:

• $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n$
• $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_n-b_n) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n - \sum_{n=1}^{\infty}b_n$
• $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(c a_n) = c\sum_{n=1}^{\infty}a_n$

I vårt eksempel er det den første regelen som er relevant. Dersom vi deler opp uttrykket i to brøker, ser vi at hver av disse danner en geometrisk rekke:

\begin{align*} &\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+2^{n+1}}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3^n} + \frac{2^{n+1}}{3^n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{3^n} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n + \sum_{n=1}^{\infty}2 \left(\frac{2}{3}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \end{align*}

Her brukte vi den første regelen i den andre overgangen i første linje. Siden tallverdien av kvotienten er mindre enn 1 i hver rekke (1/3 i den første og 2/3 i den andre), vil begge rekker konvergere og summen er dermed:

\begin{align*} &\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} + \frac{\frac{4}{3}}{1-\frac{2}{3}} \\ &= \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} + \frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} + 4 = \underline{\underline{\frac{9}{2}}} \end{align*}

Oppgave b)

Vi starter med å skrive om uttrykket for det allmenne leddet for å lettere se hva som er kvotienten:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}(-5)^n x^n = \sum_{n=1}^{\infty}(-5x)^n = \sum_{n=1}^{\infty}(-5x)(-5x)^{n-1} \end{align*}

Vi ser her at kvotienten $r=-5x$. En geometrisk rekke konvergerer når $|r| < 1$, dvs. når $|-5x| < 1$ eller

\begin{align*} -1 <& -5x < 1 \\ 1 >& 5x > -1 \\ \frac{1}{5} >& x > -\frac{1}{5} \end{align*}

Rekken konvergerer for $x\in(-\frac{1}{5}, \frac{1}{5})$. Summen av rekken er da:

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}(-5x)(-5x)^{n-1} = \frac{-5x}{1-(-5x)} = \underline{\underline{\frac{-5x}{1+5x}}} \end{align*}