Geometriske rekker - eksempel 3

Bruk en geometrisk rekke til å skrive tallene på brøkform:

Oppgave a)

$1.\overline{135} = 1.135135135...$

Oppgave b)

$0.\overline{9} = 0.999...$

---

---

Løsning

Oppgave a)

Vi merker oss at tallet $1.\overline{135} = 1.135135135...$ kan skrives som summen av tallene:

\begin{align*} 1.\overline{135} = 1 + 0.135 + 0.000135 + 0.000000135 + ... \end{align*}

Ved en omskriving ser vi at dette danner en geometrisk rekke;

\begin{align*} 1.\overline{135} &= 1 + \frac{135}{1000} + \frac{135}{1000^2} + \frac{135}{1000^3} + ... \\ &= 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{135}{1000^n} = 1+\sum_{n=1}^{\infty}135\left(\frac{1}{1000}\right)^n\\ &= 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{135}{1000}\left(\frac{1}{1000}\right)^{n-1} \end{align*}

Uttrykket etter 1-tallet danner en geometrisk rekke med kvotient $r=1/1000$. Siden $|r|< 1$ kan vi konkludere at rekken konvergerer og vi får:

\begin{align*} 1.\overline{135} &= 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{135}{1000}\left(\frac{1}{1000}\right)^{n-1} = 1 + \frac{\frac{135}{1000}}{1-\frac{1}{1000}} \\ &= 1 + \frac{\frac{135}{1000}}{\frac{999}{1000}} = 1 + \frac{135}{999} = \frac{999}{999} + \frac{135}{999} \\ &= \frac{1134}{999} = \underline{\underline{\frac{42}{37}}} \end{align*}

Oppgave b)

Tallet $0.999...$ kan skrives som:

\begin{align*} 0.999... &= 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... \\ &= \frac{9}{10} + \frac{9}{10^2} + \frac{9}{10^3} + ... \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{9}{10^n} = \sum_{n=1}^{\infty}9 \left(\frac{1}{10}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{9}{10} \left(\frac{1}{10}\right)^{n-1} \end{align*}

Vi kjenner igjen dette som en geometrisk rekke med kvotient $r=\frac{1}{10}$. Siden $|r|< 1$ kan vi konkludere med at rekken konvergerer og har sum:

\begin{align*} 0.999... = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\frac{9}{10}}{10} \left(\frac{1}{10}\right)^{n-1} = \frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = \underline{\underline{1}} \end{align*}

Legg merke til at vi her har bevist at $0.999... = 1$.