Aritmetiske rekker - eksempel 2

Ola bruker 4 timer på sosiale medier hver dag. Dette yns han er for mye og vil prøve å ha en pause for en stund. For at sjokket ikke skal bli for stort, vil han trappe ned ved å bruke 15 minutter mindre hver dag.

• a) Hvor lang tid tar det før Ole er fri for sosiale medier?
• b) Hvor mye har han sittet på sosiale medier i løpet av nedtrappingsperioden.

---

Løsning

Dagen Ola bestemmer seg for å trappe ned, sitter han $4\cdot 60$ min. = 240 min. på sosiale medier. For hver dag sitter han 15 minutter mindre. Vi skriver dette i en tabell:

Oppg. a)

Dag	Minutter
1	240
2	240-15
3	240-2 $\cdot$ 15
$\vdots$
$n$	240-($n$-1)15

Vi lar dag $n$ være dagen han er fri for sosiale medier. Dette gir oss:

\begin{align*} 240-(n-1)15 &= 0 \\ (n-1)15 &= 240 \\ (n-1) &= 16 \\ n &= \underline{\underline{17}} \end{align*}

Han er fri for sosiale medier på dag nr. 17 (som vil si at det tok 16 dager å bli fri).

Oppg. b)

Vi legger sammen antall minutter han satt hver dag i løpet av nedtrappingsperioden.

\begin{align*} 240 + (240 - 15) + (240 - 2\cdot 15) + 240-(n-1)15 = \sum_{i=1}^{17}(240 - (n-1)15) \\ \end{align*}

Vi kjenner igjen dette om en aritmetisk rekke. Summen av denne

\begin{align*} \sum_{i=1}^{17}(240 - (n-1)15) = (a_1 + a_{17})\frac{17}{2}\\ \end{align*}

Siden vi brukte at $a_n = 0$, får vi

\begin{align*} \sum_{i=1}^{17}(240 - (n-1)15) = (240 + 0)\frac{17}{2} = \underline{\underline{2040}}\\ \end{align*}

Ola har sittet 2040 minutter, eller 34 timer, på sosiale medier i løpet av nedtrappingsperioden.