Eksempel 3

Finn arealet mellom $f(x)=x^3-x$ og $x$-aksen fra $x=-1$ til $x=1$.

---

Løsning

Et logisk førsteinnstinkt vil være å sette opp det bestemte integralet fra -1 til 1:

\begin{align} \int_{-1}^{1} (x^3 - x) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 \right]_{-1}^{1} = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = 0 \end{align}

Vi får at arealet er lik 0, noe som virker veldig merkelig, spesielt når vi tar en titt på funksjonen.

Det er opplagt arealet mellom funksjonen og $x$-aksen ikke er lik null. Problemet er området mellom $x=0$ og $x=1$ hvor funksjonen er negativ. Integralet av en negativ funksjon, vil faktisk gi et negativt "areal".

Regel

La $f(x)< 0$ for $x\in[a,b]$ og $A$ være arealet mellom $f(x)$ og $x$-aksen. Vi har da:

\begin{align} \int_a^b f(x) \ dx = -A \end{align}

Går vi tilbake til den originale funksjonen vår, $f(x) = x^3 - x$, ser vi at den er positiv for $-1 < x < 0$ og negativ for $0 < x < 1$. For å finne arealet, kan vi dele opp integralet vårt. Istedenfor å integrere funksjonen fra -1 til 1, integrerer vi først funksjonen fra 0 til 1, hvor funksjonen er positiv. Integralet fra 0 til 1 vil gi et negativt "areal", siden funksjonen er negativ, men dersom vi tar absoluttverdien av resultatet, ender vi opp med arealet vi er interessert i. Det totale arealet blir derfor:

\begin{align} A = \int_{-1}^0 f(x) \ dx + \left| \int_{0}^1 f(x) \ dx \right| &= \int_{-1}^0 (x^3-x) \ dx + \left| \int_{0}^1 (x^3-x) \ dx \right| \\ &= 0-\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) + \left| \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) - 0 \right| = \underline{\underline{\frac{1}{2}}} \end{align}