Eksempel 2

Finn arealet mellom $f(x)=\sin x$ og $x$-aksen fra $x=0$ og $x=\pi$.

Løsning

Arealet er gitt ved det bestemte integralet av $f(x)$ fra $x=0$ til $x=\pi$. Siden $\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)$, vil $\int \sin(x) \ dx = \cos(x) + C$. Arealet er dermed:

\begin{align} \int_0^{\pi} \sin x \ dx = \left[ -\cos x \right]_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = 1+1 = \underline{\underline{2}} \end{align}

Nøkkelpoeng

Eksempel på bruk av bestemt integrasjon til å beregne areal under kurver.
Funksjonen $F(x) = -\cos x$ er en antiderivert for $f(x) = \sin x$.

Oppgaver

Oppg. 1

Finn arealet til området avgrensa av kurven til $f(x) = 1-x^3$ og koordinataksene.

Løsning

Oppg. 2

Regn ut $\displaystyle \int \cos(2x) \ dx$ ved å prøve å finne en funksjon du kan derivere for å få $\cos(2x)$.

Løsning