Eksempel 1

Regn ut $\displaystyle \int_1^2 \left( x + \dfrac{1}{x} \right) dx$.

---

Løsning

Vi løser integralet ved å bruke analysens fundamentalteorem:

\begin{align} \int_{1}^{2}\left( x + \dfrac{1}{x} \right) dx &= \left[ \frac{1}{2}x^2 + \ln |x| \right]_1^2 \\ &= \left( \frac{1}{2} 2^2 + \ln|2| \right) - \left( \frac{1}{2} 1^1 + \ln|1| \right) \\ &= \underline{\underline{\frac{3}{2} + \ln 2}} \approx 2.19 \end{align}

Hvor ble det av $C$?

Når vi utfører et ubestemt integral, får vi alltid en ubestemt konstant, $C$, på slutten. Hvorfor har vi ikke inkludert denne i utregningen ovenfor? Svaret er veldig enkelt: vi trenger ikke tenke på en slik konstant, for den vi alltid forsvinne når vi regner ut et bestemt integral.

Vi tar for oss det ubestemte integralet

\begin{align} \int f(x) \ dx = F(x) + C \end{align}

Det bestemte integralet fra $a$ til $b$ blir dermed

\begin{align} \int_a^b f(x) \ dx &= \left[F(x) + C\right]_a^b \\ &= \left(F(b) + C\right) - \left(F(a) + C\right) \\ &= F(b) + C - F(a) - C = \underline{F(b)-F(a)} \end{align} Enhver konstant $C$ fra det ubestemte integralet vil med andre ord forsvinne når vi regnet ut et bestemt integral. Det er derfor ingen vits å ta den med i utregningen og vi kan regne ut bestemte integralet slik vi gjorde over.