Analysens fundamentalteorem

---

Introduksjon

I forrige seksjon definerte vi et bestemt integral utifra en Riemann-sum når antall rektangle blir uendelig tynne og uendelig mange. Det kan virke som at det ikke er noen nær sammenheng mellom ubestemte og bestemte integraler. Ubestemte integraler er knytta til den antideriverte til en funksjon, mens bestemte integraler handler om arealberegning. Det er derimot en svært nær kobling mellom de bestemte og ubestemte integralene og denne koblingen kommer frem i analysens viktigste teorem: analysens fundamentalteorem.

Analysens fundamentalteorem

Anta $f$ er en kontinuerlig funksjon på intervallet $[a,b]$.

1. Dersom $\displaystyle g(x) = \int_a^x f(t) \ dt$, så er $g'(x) = f(x)$.
2. Dersom $F$ er en antiderivert for $f$, dvs. $F'=f$, så er $\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx = F(b) - F(a)$.

Teoremet gir en kobling mellom derivasjon og integrasjon, og det viser også sammenhengen mellom ubestemt og bestemt integrajon. Del 2 er spesielt viktig for oss da det gir oss en måte å løse bestemte integraler ved hjelp av de antideriverte vi finner fra ubestemt integrasjon. For å løse det bestemte integralet av $f(x)$ fra $a$ til $b$, kan vi finne en antiderivert $F(x)$ og sette inn den øvre grensen minus den nedre grensen, $F(b) - F(a)$. I resten av denne seksjonen, går vi dypere inn i teoremet for å vise at det gir mening.

Arealfunksjonen

Anta $f(x) \geq 0$ for $x\in[a,b]$. Vi definerer funksjonen, $g(x)$, til å være arealet mellom $f(x)$ og $x$-aksen fra $a$ til en valgt $x$.

For å komme frem til en sammenheng mellom $f(x)$ og $g(x)$, kan vi se på arealet mellom $f(x)$ og $x$-aksen fra en verdi $x$ til $x+h$. Siden $g(x+h)$ gir oss arealet fra $a$ til $x+h$ vil arealet fra $x$ til $x+\Delta x$ være gitt ved $g(x+h) - g(x)$ (vi trekker fra arealet fra $a$ til $x$ og står igjen med arealet vi er interessert i).

Vi sammenlikner dette arealet med arealet av to rektangle, et med bredde $h$ og høyde $f(x)$ og et med bredde $h$ og høyde $f(x+h)$ (se figuren under).

Arealet av rektangelet med høyde $f(x+h)$ er større eller lik enn arealet under $f(x)$ om igjen er større eller lik enn arealet til rektangelet med høyde $f(x)$. Med andre ord:

\begin{align} f(x)\cdot h &\leq g(x+h)-g(x) \leq f(x+h)\cdot h \\[0.2cm] f(x)&\leq \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\leq f(x+h) \end{align}

Dersom vi lar $h\to 0$ vil $\displaystyle \lim_{h\to 0}f(x+h) = f(x)$. Siden $\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$ ligger klemt mellom $f(x)$ og $f(x+h)$, får vi:

\begin{align} f(x)= \lim_{h\to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \end{align}

Siden høyresiden er definisjonen på den deriverte av $g(x)$, har vi at:

\begin{align} f(x) = g'(x) \end{align}

Altså, $f(x)$ er den deriverte av arealfunksjonen, $g(x)$. Siden $g(x)$ angir arealet under $f$ fra $a$ til $x$ kan vi også uttrykke $g(x)$ ved et bestemt integral:

\begin{align} g(x) = \int_a^x f(t) \ dt \end{align}

Som viser første del av analysens fundamentalteorem. Vi har her valgt $t$ som integrasjonsvariabel for å skille mellom $x$-en i $g(x)$ og $f(x)$.

Siden $f(x) = g'(x)$ kunne vi også satt opp $g(x)$ som et ubestemt integral:

\begin{align} g(x) = \int f(x) \ dx = F(x) + C \end{align}

hvor $F(x)$ er en antiderivert til $f(x)$. Arealet under $f(x)$ fra $a$ til $b$ er gitt ved $g(b)$ fra definisjonen av $g(x)$. Innsatt i uttrykket over får vi:

\begin{align} g(b) = F(b) + C \end{align}

Vi kan finne konstanten $C$ ved å utnytte at $g(a)$, som er arealet fra $a$ til $a$, er lik 0:

\begin{align} g(a) &= F(a) + C = 0 \\ C&=-F(a) \end{align}

Arealet fra $a$ til $b$ blir dermed $g(b) = F(b) - F(b)$. Dette arealet kan også uttrykkes ved det bestemte integralet av $f(x)$ og vi får:

\begin{align} \int_a^b f(x) \ dx = F(b) - F(a) \end{align}

som er andre del av analysens fundamentalteorem.