Integrasjon

Dette nettkompendiumet gir en introduksjon til integrasjon. Kompendiumet har to deler; ubestemt integrasjon og bestemt integrasjon.

Ubestemt integrasjon

Videotid: ca. 60 min

  1. Den antideriverte og ubestemte integral
  2. Eksempel 1
  3. Derivasjon av |f(x)|
  4. Eksempel 2
  5. Eksempel 3

Bestemt integrasjon

Videotid: ca. 59 min

  1. Riemannsummen og det bestemte integral
  2. Analysens fundamentalteorem
  3. Eksempel 1
  4. Eksempel 2
  5. Eksempel 3

Forelesning

Under er listen av oppgaver vi skal fokusere på i forelesningene. Husk å levere det obligatoriske selvevalueringsskjemaet før forelesning (se canvas).

Forelesningen

Sammendrag

Ubestemte integraler

En funksjon $F(x)$ kalles den antideriverte til $f(x)$ dersom: \begin{align} \frac{dF}{dx} = f(x) \end{align} Altså dersom $f(x)$ er den deriverte av $F(x)$. Vi kan også skrive $F(x)$ som den integrerte av $f(x)$ med hensyn på $x$. \begin{align} \int f(x) dx = F(x) + C \end{align} Hvor $C$ er en vilkårlig konstant. Vi kaller dette for det ubestemte integralet av $f(x)$ med hensyn på x.

Noen antideriverte

Liste over noen funksjoner og deres antiderivert.

Funksjon, $f(x)$ Antiderivert, $F(x)$
$x^n$ $\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$
$e^x$ $e^x$
$\dfrac{1}{x}$ $\ln|x|$
$\ln x$ $x\ln x - x$
$\cos x$ $\sin x$
Funksjon, $f(x)$ Antiderivert, $F(x)$
$\sin x$ $-\cos x$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$ $\tan x$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\arcsin x$
$\dfrac{1}{1+x^2}$ $\arctan x$

Regneregler

  1. For en funksjon $f(x)$ og en konstant $k$ gjelder: \begin{align} \int k \cdot f(x) \ dx = k \int f(x) \ dx \end{align}
  2. For to funksjoner $u(x)$ og $v(x)$ gjelder: \begin{align} \int \left[ u(x) \pm v(x) \right] dx = \int u(x) \ dx \pm \int v(x) \ dx \end{align}

Tips:

Du kan alltid sjekke om du har integrert riktig ved å derivere svaret ditt og se om du kommer tilbake til funksjonen du skulle integrere. Altså, sjekk om \begin{align} F'(x) = f(x) \end{align}

Derivasjon av funksjoner med absoluttegn

Anta vi har en funksjon $u=u(x)$. Vi har da \begin{align} \frac{d}{dx} |u| = \frac{u}{|u|}\cdot \frac{du}{dx} \end{align} gitt at $u \neq 0$.

Bestemte integraler

Riemannsummen

Et bestemt integral er definert som grenseverdien til en Riemann-sum:

\begin{align} \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x = \int_a^b f(x) \ dx \end{align}

Analysens fundamentalteorem

Anta $f$ er en kontinuerlig funksjon på intervallet $[a,b]$.

  1. Dersom $\displaystyle g(x) = \int_a^x f(t) \ dt$, så er $g'(x) = f(x)$.
  2. Dersom $F$ er en antiderivert for $f$, dvs. $F'=f$, så er $\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx = F(b) - F(a)$.

Geometrisk tolkning av bestemte integral

Dersom $f(x)$ er kontinuerlig og positiv på intervallet $x \in [a,b]$, vil det bestemte integralet fra $a$ til $b$ gi arealet mellom funksjonen og $x$-aksen, A. Altså:

\begin{align} A = \int_a^b f(x) dx \end{align}

Er funksjonen negativ, derimot, vil det bestemte integralet gi en verdi som er like stor som arealet mellom $f(x)$ og $x$-aksen, bare negativt.

\begin{align} -A = \int_a^b f(x) dx \end{align}