Eksempel 3

Finn $f(x)$ når $f''(x) = \displaystyle x^2 + \frac{\sqrt{x} - x}{x^3}$.

---

Løsning

Vi har oppgitt den dobbeltderiverte, så for å finne $f(x)$, må vi integrere uttrykket for $f''(x)$ to ganger. Vi starter med å finne den deriverte av $f(x)$:

$$\begin{align} f'(x) &= \int f''(x) \ dx = \int \left( x^2 + \frac{\sqrt{x} - x}{x^3} \right) dx \\ &= \int \left( x^2 + \frac{\sqrt{x}}{x^2} - \frac{x}{x^3} \right) dx = \int \left( x^2 + \frac{1}{x^{5/2}} - \frac{1}{x^2} \right) dx \\ &= \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{-3/2}x^{-3/2} - \frac{-1}{x} + C_1 = \underline{\frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{3}x^{-3/2} + \frac{1}{x} + C_1} \end{align}$$

Vi finner deretter funksjonen ved å integrere den deriverte:

$$\begin{align} f(x) &= \int f'(x) \ dx = \int \left(\frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{3}x^{-3/2} + \frac{1}{x} + C_1\right) dx \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{-1/2}x^{-1/2} + \ln|x| + C_1x + C_2 \\ &= \underline{\underline{\frac{1}{12}x^4 + \frac{4}{3}x^{-1/2} + \ln|x| + C_1 x + C_2}} \end{align}$$ hvor $C_1$ pg $C_2$ er ukjente konstanter.