Den antideriverte og ubestemte integral

Den antideriverte

Anta at vi har en funksjon $x^2$. Dersom vi deriverer funksjonen får vi: \begin{align} \frac{d}{dx} x^2 = 2x \end{align}

Derivasjon har mange praktiske bruksområder, og vi har derfor mange regler for hvordan derivere forskjellige funksjoner. Men det er også viktig å kunne gå motsatt veg. Altså hvis vi har funksjonen $2x$, hvilken funksjon må vi derivere for å få denne som den deriverte? Vi så akkurat at det er $x^2$. Vi kaller derfor $x^2$ for den antideriverte til funksjonen $2x$.

Mer generelt sier vi at en funksjon $F(x)$ kalles den antideriverte til $f(x)$ dersom: \begin{align} \frac{dF}{dx} = f(x) \end{align} Altså dersom $f(x)$ er den deriverte av $F(x)$. I vårt eksempel kan vi kalle $f(x)=2x$ og $F(x)=x^2$ siden $F'(x)=f(x)$.

Eksempel 1

Dersom vi har funksjonen \begin{align} f(x) = x^3 \end{align} vi den antideriverte bli \begin{align} F(x) = \frac{1}{4}x^4. \end{align} Vi kan sjekke at dette stemmer ved å derivere $F(x)$: \begin{align} F'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 = x^3 = f(x). \end{align}

Eksempel 2

Dersom vi har et generelt polynomsuttrykk \begin{align} f(x) = x^n \end{align} hvor $n$ er et tall, vil den antideriverte bli: \begin{align} F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1} \end{align} Vi kan dobbeltsjekke dette ved å derivere $F(x)$: \begin{align} F'(x) = \frac{1}{n+1}\cdot (n+1) x^{n+1 - 1} = x^n = f(x). \end{align}

Legg merke til at dette gjelder for alle reelle tall utenom -1. Dersom $n=-1$, altså $f(x) = x^{-1}$ sier regelen at den antideriverte blir $F(x) = \frac{1}{-1+1}x^{-1+1} = \frac{1}{0}$. Siden vi ikke kan dele på 0, kan ikke denne regelen gjelder for $n=-1$. Regelen gjelder derimot for alle andre reelle tall.

Det ubestemte integral

Vi har en notasjon for $f(x)$ gitt ved $F(x)$, altså $f(x) = F'(x)$, men det hadde også vært nyttig å kunne uttrykke $F(x)$ ved $f(x)$. Altså en notasjon som sier at vi skal finne den antideriverte. Vi kaller prosessen å finne den antideriverte for integrasjon (rettere sagt, ubestemt integrasjon). Notasjonen er som følgende: \begin{align} \int f(x) dx = F(x) + C \end{align} Hvor $C$ er en vilkårlig konstant. Vi kaller dette for det ubestemte integralet av $f(x)$ med hensyn på x. Integrasjonstegnet $\int$ viser at vi skal integrere funksjonen $f(x)$. Leddet $dx$ har en bestemt betydning, men for øyeblikket skal vi bare se på $dx$ som en notasjon som sier at vi integrerer med hensyn på variabelen $x$.

Det kan i første omgang være litt forvirrende hvorfor vi får en konstant, $C$, i tillegg til den antideriverte, men det blir fort tydelig om vi ser på funksjonene:

\begin{align} F_1(x) &= x^2 \\ F_2(x) &= x^2 + 1 \\ F_3(x) &= x^2 + \pi \end{align} Deriverer vi disse, får vi: \begin{align} f_1(x) &= F'_1(x) = 2x \\ f_2(x) &= F'_2(x) = 2x \\ f_3(x) &= F'_3(x) = 2x. \\ \end{align}

Alle funksjonene har samme derivert siden den deriverte av en konstant er lik 0. Dersom vi starter med funksjonen $2x$ og spør oss "hvilken funksjon må vi derivere for å få $2x$", er alle funksjonene $F_1$, $F_2$ og $F_3$ gyldige svar. Har vi en generell antiderivert $F(x)$, så vil den deriverte av $F(x) + C$, hvor $C$ er en konstant, gi oss samme funksjon. Siden vi ikke kan vite på forhånd om vi hadde en konstant der eller ikke, må vi inkludere denne i svaret på integralet.