Eksempel 1

Løs integralet $\displaystyle \int \left(\dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{5}{x^2} + 3\right) dx$.

---

Løsning

Et integral av et funksjonsuttrykk som består av flere ledd addert sammen, kan løses ved å løse hvert integral hver for seg:

\begin{align} \int \left(\frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{x^2} + 3 \right) = \int \frac{1}{2}x^3 \ dx + \int \frac{-5}{x^2} dx + \int 3 \ dx \end{align}

Konstanter kan i tillegg settes utenfor integraltegnet:

\begin{align} \int \frac{1}{2}x^3 \ dx + \int \frac{-5}{x^2} dx + \int 3 \ dx = \frac{1}{2}\int x^3 \ dx - 5\int \frac{1}{x^2} dx + 3\int \ dx \end{align}

Vi løser hvert integral hvert for seg:

Integral 1

\begin{align} \frac{1}{2}\int x^3 \ dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}x^4 + C_1 = \underline{\frac{1}{8}x^4 + C_1} \end{align}

Integral 2

\begin{align} -5\int \frac{1}{x^2} dx &= -5 \int x^{-2}\ dx = -5 \cdot \frac{1}{-1}x^{⁻1} + C_2 = \underline{\frac{5}{x} + C_2} \end{align}

Integral 3

\begin{align} 3\int \ dx = 3\int x^0 \ dx = \underline{3 x + C_3} \end{align}

Innsatt i det opprinnelige integralet, får vi:

\begin{align} \frac{1}{2}\int x^3 \ dx - 5\int \frac{1}{x^2} dx + 3\int \ dx = \underline{\underline{\frac{1}{8}x^4 +\frac{5}{x} +3x + C}} \end{align} hvor vi har brukt at $C = C_1 + C_2 + C_3$.

Regler

I tillegg til uttrykket for den antideriverte til en funksjon på formen $x^n$, var vi brukt to regler i dette eksemplet:

1. For en funksjon $f(x)$ og en konstant $k$ gjelder: \begin{align} \int k \cdot f(x) \ dx = k \int f(x) \ dx \end{align}
2. For to funksjoner $u(x)$ og $v(x)$ gjelder: \begin{align} \int \left[ u(x) \pm v(x) \right] dx = \int u(x) \ dx \pm \int v(x) \ dx \end{align}