Derivasjon av uttrykk med absoluttegn

---

Løsning

La oss anta at vi har en funksjon $u=u(x)$ og ønsker å finne \begin{align} \frac{d}{dx} |u| \end{align} Vi kan først skrive om funksjonen ved å bruke at \begin{align} |u| = \sqrt{u^2} = \left( u^2 \right)^{1/2} \end{align}

Dette stemmer fordi dersom $u$ er negativ, vil $u^2$ bli positivt. Tar vi roten av $u^2$ vil svaret fortsatt være positivt (roten av et positivt tall er positivt), slik at vi står igjen med $u$ bare der vi er forsikra oss om at det er positivt, altså $|u|$.

Bruker vi kjerneregelen når vi deriverer, får vi: \begin{align} \frac{d}{dx} |u| &= \frac{d}{dx} \left( u^2 \right)^{1/2} \\ &= \frac{1}{2} \left( u^2 \right)^{-1/2} \cdot 2u \frac{du}{dx} \\ &= \frac{u}{\sqrt{u^2}}\cdot u' = \underline{\frac{u}{|u|}\cdot u'} \end{align}

Eksempel

Finn den deriverte av $f(x)=|x^3|$.

Løsning

Vi bruker uttrykket for den deriverte av $|u(x)|$ og får:

\begin{align} \frac{d}{dx} |x^3| = \frac{x^3}{|x^3|}3x^2 \end{align}

Vi kan forenkle dette ytterligere ved å utnytte at $x^2 = |x^2|$. Dette stemmer siden $x^2$ alltid er positivt, i hvertfall for reelle tall, så absoluttegnet vil ikke gjøre noen forskjell. Dette gir oss:

\begin{align} \frac{x^3}{|x^3|}3x^2 &= \frac{x \cdot x^2}{|x^3|}3x^2 = \frac{x \cdot |x^2|}{|x^3|}3|x^2| = \frac{3x \cdot |x^4|}{|x^3|} = \underline{\underline{3x|x|}} \end{align}